Exercícios Resolvidos de Força, Energia Potencial e Deslocamento

MHS

A energia potencial de uma partícula de massa m numa dada posição x é descrita pela função U x = ( 1 - cos ⁡ π x ) (em Joules, sendo x em metros), mostrada na figura abaixo.

  1. Calculo a força F ( x ) que atua na partícula para todo x .
  2. Calcule a frequência angular de pequenas oscilações em torno de x = 0 .
  3. Considerando que a partícula é colocada em repouso na posição x 0 = 0,1   m no instante de tempo t = 0   s e realiza pequenas oscilações em torno de x = 0 , determine:

  4. A posição x t em função do tempo.
  5. A velocidade em função do tempo da partícula, v ( t ) .
  6. O módulo da velocidade da partícula quando esta se encontra na posição x = 0   m .

Sugestão: utilize a série de Taylor de c o s θ em torno de θ = 0 .

Passo 1

a):

Bom, vamos lembrar daquela equação de física 1:

F = - d U d x

Sendo:

U x = 1 - cos ⁡ π x

Então:

F = - π s e n π x = - π s e n ( π x )

F x = - π s e n ( π x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Aqui a gente vai usar a sugestão da série de Taylor.

A série de Taylor pra c o s ⁡ ( θ ) , em torno de x = 0 , é:

cos ⁡ θ = 1 - θ 2 2

Então, reescrevendo U x :

U x = 1 - c o s ⁡ ( π x )

Com:

θ = π x

U x = 1 - 1 - θ 2 2 = θ 2 2 = π 2 x 2 2

Show! Mas olha só:

U x = π 2 x 2 2

Isso ai se parece com:

U x = k x 2 2

Então:

k = π 2

E como:

ω = k m = π 2 m = π m   r a d / s

Passo 3

c) O que o enunciado nos diz é:

x 0 = 0,1 m

x ˙ 0 = v ( 0 ) = 0

A velocidade inicial é essa porque ele diz que a partícula sai do repouso.

Bom, a função x ( t ) segue o padrão:

x t = A c o s ω t + φ

Então a gente só precisa descobrir a fase φ , já que já sabemos ω .

Assim:

x 0 = A c o s φ

Como:

0,1 > 0   → A c o s φ > 0 → cos ⁡ φ > 0

E como:

v t = - ω A s e n ω t + φ

v 0 = - ω A s e n φ = 0   → s e n φ = 0 →   φ = 0

Por que zero e não π ? Porque a gente viu que o cosseno tem que ser maior que zero.

Então:

x 0 = A c o s 0 = 0,1

A = 0,1

Ai:

x t = 0,1 cos ⁡ π m t m

Passo 4

d):

Ai é so derivar x t :

v t = d x t d t = - 0,1 π m s e n π m t

Passo 5

e):

Ai é só a gente tentar maximizar a função:

v t = - 0,1 π m s e n π m t

Isso acontece quando s e n π m t = - 1 . Por que? Porque ai vamos ter o maior valor positivo que a função pode alcançar:

v t m á x = 0,1 π m

Resposta

a):

F x = - π s e n ( π x )

b):

ω = π m   r a d / s

c):

x t = 0,1 cos ⁡ π m t m

d):

v t = - 0,1 π m s e n π m t

e):

v t m á x = 0,1 π m

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