Exercícios Resolvidos de Força, Energia Potencial e Deslocamento

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Enunciado

Uma partícula se desloca sobre o eixo x sob ação de uma força resultante conservativa, cuja energia potencial está representada no gráfico a seguir. No instante inicial a partícula está no ponto x 1 . Considere duas situações distintas: na primeira ela possui energia mecânica E 1 e na segunda energia mecânica E 2 e sua velocidade inicial é no sentido positivo do eixo x .

Comparando sempre as situações em que a energia mecânica é E 1 ou E 2 , qual das seguintes frases a seguir é verdadeira?

(a) Quando a partícula está na posição x 3   a força sobre ela é a mesma nos dois casos.

(b) Quando a partícula está na posição x 2 a sua velocidade é a mesma nos dois casos.

(c) Em ambos os casos, a posição x 3 é um ponto de retorno.

(d) Na posição x 1 a força sobre a partícula é nula apenas no caso em que a energia mecânica é E 1 .

(e) A posição x 4 é uma posição em que a energia cinética é máxima, no caso em que a energia mecânica é E 2 .

Passo 1

Qual vai ser a diferença entre os dois casos?

A energia mecânica E é a energia total do sistema, dada por:

E = K + U

Então, quando a partícula atinge uma posição de energia potencial U x igual ao valor de energia total E , o que acontece?

Toda sua energia está na forma de U e não tem mais nenhuma energia restante na forma de energia cinética K .

Então, em um gráfico com a concavidade para cima (barriguinha para baixo) como esse, no trecho central:

Os pontos x 1 e x 3 serão os pontos de retorno quando a partícula apresenta uma energia E 1 , enquanto o ponto x 4 será um dos dois pontos de retorno quando a partícula apresenta uma energia E 2 .

Esses pontos são chamados de pontos de retorno porque são os pontos onde a partícula para v = 0 e começa a percorrer o caminho de volta, através da ação da força conservativa F associada à energia potencial U x .

Por último, ainda podemos relacionar a força F sobre a partícula com o gráfico de U x com:

F = - d U x d x

A força F é menos a derivada do gráfico de energia potencial U x . Ou seja, ela apresenta o valor da inclinação do gráfico, porém com o sinal negativo.

Vamos às alternativas...

Passo 2

(a) Quando a partícula está na posição x 3   a força sobre ela é a mesma nos dois casos.

Como já vimos no Passo 1, a força sobre a partícula é menos a derivada do gráfico da energia potencial U x :

F = - d U x d x

Ela só depende da inclinação do gráfico, então, em um mesmo ponto x 3 , a partícula terá uma força F igual independente de seu valor de energia mecânica.

A alternativa (a) está correta.

Passo 3

(b) Quando a partícula está na posição x 2 a sua velocidade é a mesma nos dois casos.

Na posição x 2 , a partícula terá o mesmo valor de energia potencial U para os dois casos.

Entretanto, como a energia mecânica é maior no caso 2:

E 2 > E 1

A parcela de energia restante na forma de cinética K será maior no caso 2 também:

K 2 > K 1

Então, a partícula passa no ponto x 2 com uma velocidade maior quando sua energia total vale E 2 .

A alternativa (b) está incorreta.

Passo 4

(c) Em ambos os casos, a posição x 3 é um ponto de retorno.

Como vimos no Passo 1, o ponto x 3 será ponto de retorno apenas quando a energia total for igual a E 1 . Pois nesse caso, toda a energia estará na forma de potencial U , não sobrando nenhuma parcela na forma de energia cinética K .

Já quando a energia total vale E 2 , no ponto x 3 ainda resta uma parcela da energia na forma de cinética, então a partícula ainda tem uma velocidade e vai passar desse ponto, não sendo um ponto de retorno.

A alternativa (c) está incorreta.

Passo 5

(d) Na posição x 1 a força sobre a partícula é nula apenas no caso em que a energia mecânica é E 1 .

Como na posição x 1 o gráfico de U x apresenta uma inclinação diferente de zero (horizontal), isso significa que a força atuando sobre a partícula é não nula também, independente de seu valor total de energia E .

Assim, em ambos os casos teremos uma força F atuando sobre a partícula no ponto x 1 .

A alternativa (d) está incorreta.

Passo 6

(e) A posição x 4 é uma posição em que a energia cinética é máxima, no caso em que a energia mecânica é E 2 .

No caso em que a energia mecânica é E 1 , a partícula nem chega a atingir o ponto x 4 , pois não tem energia suficiente para passar do ponto x 3 .

Já no caso em que a partícula tem energia igual a E 2 , podemos ver que a energia potencial U em x 4 tem exatemente o valor da energia total E 2 .

Assim, toda a energia da partícula estará na forma de energia potencial U e não sobra nenhuma parcela de energia cinética K .

Logo, K é mínima no ponto x 4 .

A alternativa (e) está incorreta.

Resposta

Letra (a)

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