Exercícios Resolvidos de Força, Energia Potencial e Deslocamento

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Enunciado

O movimento de uma partícula é descrito pela seguinte energia potencial:

U x = - x 3 3 + 7 x 2 2 - 10 x

onde U é medido em Joules e x em metros. A força sobre a partícula é nula nos pontos:

(a) x = 10   m e x = 4   m .

(b) x = 7   m e x = 0   m .

(c) x = - 5   m e x = - 2   m .

(d) x = - 7   m e x = 0   m .

(e) x = 5   m e x = 2   m .

Passo 1

Para essa questão, precisamos relembrar alguns pontos.

O primeiro deles é que uma energia potencial U depende apenas da posição onde se encontra um corpo. Assim, é possível escrever essa energia como uma função da posição, como foi dado no enunciado:

U x = - x 3 3 + 7 x 2 2 - 10 x

O outro ponto é essa energia potencial U , estará relacionada com uma força conservativa F a partir de:

F x = - d U x d x

Ou seja, a força é menos a derivada da energia potencial.

Passo 2

Então, vamos descobrir a força em função da posição F x derivando aquela expressão:

F x = - - x 3 3 + 7 x 2 2 - 10 x '

F x = - - 3 x 2 3 + 7 2 x 2 - 10 1

F x = - - x 2 + 7 x - 10

F x = x 2 - 7 x + 10

Pronto, conseguimos a expressão para a força.

Passo 3

Agora, basta descobrir em quais pontos ela vale zero.

F x = 0

x 2 - 7 x + 10 = 0

Temos uma equação de segundo grau, então, vamos usar a fórmula de Bháskara para encontrar essas raízes.

Então, aquele mesmo passo a passo de sempre...

Vamos chamar os coeficientes de x 2 , x e x 0 de a , b e c , respectivamente:

" a x 2 + b x + c = 0 "

Assim, temos que as raízes serão dadas por:

x = - b ± ∆ 2 a

Onde é dado por:

∆ = b 2 - 4 a c

Passo 4

Voltando a nossa expressão:

x 2 - 7 x + 10 = 0

Vamos começar calculando o :

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = - 7 2 - 4 1 10

∆ = 49 - 40

∆ = 9

Passo 5

Substituindo os valores para achar as raízes, ficamos com:

x = - - 7 ± 9 2 1

x = 7 ± 9 2

A primeira raiz será:

x 1 = 7 + 9 2

x 1 = 7 + 3 2

x 1 = 5   m

Enquanto a segunda será:

x 2 = 7 - 9 2

x 2 = 7 - 3 2

x 2 = 2   m

Pronto, achamos que a força se anula nos pontos x = 5   m e x = 2   m .

Ficamos com a letra (e).

Resposta

Letra (e)

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