Exercícios Resolvidos de Força, Energia Potencial e Deslocamento

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Enunciado

Uma partícula de massa 2,0   k g se move ao longo de um eixo x sob a ação de uma única força F x que é conservativa. A energia potencial U x associada a essa força está representada no gráfico ao lado. No ponto x = 4,0   m , a velocidade da partícula é v 4 = 3,3   m / s .

(a) Encontre o módulo e o sentido de F ( x ) em x = 2,0   m .

(b) Obtenha a energia mecânica dessa partícula.

(c) Determine a energia potencial U ( 2 ) no ponto   x = 2,0   m . NOTA: U ( 2 ) ≠ - 8   J .

Passo 1

Na letra (a), queremos a força F x no momento em que a partícula passa por x = 2   m .

Temos um gráfico da energia potencial para retirar essa informação...

Mas que que eu vou fazer com esse gráfico?

Então... pensa na energia mecânica.

Como a única força que atua na partícula é F x , uma força conservativa, a energia mecânica do sistema se conserva.

Okay, e daí?

Se a energia mecânica do sistema se conserva (constante), isso significa que a energia transita entre a forma de energia cinética K e energia potencial U .

E = K + U

K + U = c t e

Como uma força atuando sobre a partícula faz ela ganhar ou perder velocidade, ela vai ganhar ou perder energia cinética K .

Para que a energia mecânica não se altere, quando K mudar, a energia potencial U vai ter que compensar essa mudança, para isso ela vai variar exatamente o oposto da energia cinética K .

∆ K = - ∆ U

Quanto maior a força F x , mais rapidamente K vai variar, e, consequentemente, mais rapidamente U vai variar também. Podemos usar aquela relação que diz que a menos a variação de U (sua derivada) é igual à força:

F x = - d U x d x

Passo 2

Como a derivada de um gráfico nos dá a inclinação dele, vamos calcular a inclinação daquele trecho da reta que inclui o x = 2   m .

Para achar a inclinação de uma reta, basta a gente pegar dois pontos e calcular a variação de y sobre a variação de x :

d U 2 d x = ∆ U ∆ x = ∆ y ∆ x

Vamos pegar no gráfico dois pontos, por exemplo esses aqui:

1 , - 3 4 , - 16

Então:

d U 2 d x = - 16 - - 3 4 - 1

d U 2 d x = - 13 3

d U 2 d x = - 4,33

Passo 3

Então, conseguimos o módulo da força F 2 :

F 2 = - d U 2 d x

F 2 = - - 4,33

F 2 = 4,33   N

Passo 4

E o sentido da força?

Como achamos F 2 positiva, ela aponta no sentido positivo de x .

Isso faz sentido, pois se a partícula estiver caminhando no sentido positivo do eixo x , para sua energia U diminuir, sua energia K deve aumentar. Se a energia cinética K aumenta, sua velocidade aumenta, logo, a força está a favor do movimento (sentido positivo de x ).

Então temos que:

F 2 = 4,33   N e aponta para o sentido positivo de x .

Passo 5

Na letra (b), queremos a energia mecânica da partícula.

Como a energia mecânica é a mesma em todo o trajeto (se conserva), podemos usar qualquer ponto para calcularmos isso.

O enunciado nos deu a velocidade da partícula em x = 4   m :

v 4 = 3,3   m / s

Assim, conseguimos calcular a energia cinética da nossa partícula nesse ponto K 4 . Se somarmos com a energia potencial U 4 , encontramos a energia mecância:

E M = U 4 + K 4

Passo 6

A energia cinética em x = 4   m é:

K 4 = m v 4 2 2

K 4 = 2 3,3 2 2

K 4 = 10,89   J

Já a energia potencial U 4 podemos olhar no gráfico:

U 4 = - 16   J

Assim, conseguimos a energia mecânica E da partícula:

E M = - 16 + 10,89

E M = - 5,11   J

Passo 7

Na letra (c), queremos a energia potencial U 2 .

Seria mole se fosse só olhar o gráfico, né? Hahah

Mas ele deixa bem claro que não é para fazer isso falando que:

U 2 ≠ - 8   J

Então, precisamos usar outra estratégia...

Repara que nós temos a taxa de variação da energia potencial:

d U x d x = - 4,33

Essa variação é da energia com relação à posição. Então esse dado mostra quantos Joules J a energia potencial U variou por metro m :

d U x d x = - 4,33 J m

Passo 8

Como temos a taxa de variação naquele trecho reto do gráfico, podemos pegar algum ponto onde conhecemos o valor de U x e calcular U 2 a partir do quanto a energia variou.

Podemos pegar o ponto x = 1   m :

U 1 = - 3   J

Então, como estamos em uma reta, temos que:

U 2 = U 1 + ∆ U x ∆ x ∆ x

U 2 = U 1 + ∆ U x ∆ x 2 - 1

U 2 = - 3 + - 4,33 1

U 2 = - 7,33   J

Resposta

(a)

F 2 = 4,33   N e aponta para o sentido positivo de x .

(b)

E M = - 5,11   J

(c)

U 2 = - 7,33   J

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