Exercícios Resolvidos de Força, Energia Potencial e Deslocamento

Trabalho e Energia Cinética , Energia Potencial e Conservação de Energia

Uma partícula de massa m = 0 , 01 k g está submetida a um campo de força conservativa em uma dimensão ( x ) conforme o gráfico abaixo. A energia potencial nesse campo, U ( x ) :

- É constante e igual a 2000 J para x < - 50 m ;

- Decresce linearmente entre x = - 50 m e   x = - 20 m , onde seu valor é U ( - 20 )   =   - 1000 J (trecho linear);

- Permanece constante entre x   =   - 20 m e x   =   0 (trecho constante);

- É dada por: U ( x )   =   - 1000   +   0 , 5 x 2 para x   > 0 (trecho parabólico);

Sendo a partícula abandonada em repouso no ponto x   = - 40 m :

  1. Calcule a energia mecânica E m e c da partícula e superponha seu gráfico como função

de   x ao gráfico do potencial.

b) Calcule o máximo valor de   x   x M alcançado pela partícula em seu movimento subsequente

e indique no gráfico.

c) Obtenha a expressão para a energia cinética em função de x e faça seu gráfico no espaço

apropriado entre os limites inferior e superior que a partícula pode atingir.

d) Obtenha a expressão e faça o gráfico da componente x da força que age sobre a partícula

devido a esse potencial em função da posição entre os limites inferior e superior que a partícula

pode atingir.

e) Suponha agora que, ao ser abandonada a partícula nesse campo, seja adicionada uma

força de atrito de módulo constante F A = 50 N , contrária ao movimento (por exemplo, atrito

com uma superfécie paralela ao eixo x). Faça o gráfico de E M e c ( x ) para esta nova situação (superposto ao de U(x)), e determine o novo valor máximo de x   ( x M ) alcançado pela partícula.

Passo 1

a)

Ah, a gente sabe que a energia mecânica pode ser calculada da seguinte forma:

E M e c = K + U

No finalzinho da questão ele diz que a partícula é abandonada do repouso em x = - 40 m .Ele quis dizer com isso que em x = - 40 m   ele vai estar com velocidade nula e consequentemente energia cinética K também nula. Assim, só vai restar...

E M e c = U

Mas e aí, como que acharemos o U ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ter que usar métodos mais matemáticos que físicos agora. Lááá em tempos não tão remotos, ensino médio e tal, quando se estudou Geometria Analítica nos pediam para calcular a equação da reta de um gráfico só dando os pontos iniciais e finais da equação. Bem, aqui temos os pontos iniciais e finais e entre eles terá um gráfico linear. Para calcular o potencial em x = - 40 m   é só achar essa equação e substituir em U (-40).

Os pontos são:  (-50,2000) e  (-20, -1000).

Utilizando a fórmula para determinar a equação da reta, teremos:

m   x - x o = U - U o

Esse nosso m pode ser calculado por:

m =   U f - U o   ( x f - x o ) = - 1000 - 2000 - 20 -   ( - 50 ) = - 100

Substituindo o ponto (-50,2000), teremos:

- 100   x + 50 = U - 2000

- 100 x - 5000 = U - 2000

U ( x )   = - 100 x - 3000

Agora, achando U ( - 40 ) , vamos achar...

U - 40 = E M e c = 4000 - 3000 = 1000 J

Passo 3

O gráfico será constante em 2000J antes de x = - 50 m , cairá linearmente com a equação U ( x )   = - 100 x - 3000 entre x = - 50 m e x = - 20 m , permanecerá constante em -1000J até x = 0 e subirá, para valores de x > 0 como parábola de função - 1000 + 0,5 x 2 , como no gráfico abaixo:

Passo 4

b)

O valor de x m a x será aquele em que o potencial será igual a energia mecânica total, já que não podemos ter energia cinética negativa. Assim, teremos que:

U x = - 1000 + 0,5 x 2

1000 = - 1000 + 0,5 x m a x 2

0,5 x m a x 2 = 2000

x m a x 2 = 4000

x m a x = 4000 = 20 10 ≅ 63 m

Passo 5

c)

Como falei no Passo 4 a energia cinética SEMPRE deve ser positiva, então só haverá energia cinética em pontos em que o gráfico do potencial está abaixo de 1000J, nesse caso, haverá energia cinética no intervalo - 40 m < x < 63 m .

Também vimos lá no Passo 1 que E M e c = K + U , logo:

K = E M e c - U

Como a gente já viu que E M e c = 1000 J e também já achamos todas as equações de U, teremos:

K = 1000 -   - 100 x - 3 000 = 100 x + 4000   [ P a r t e   l i n e a r ]

K = 1000 -     - 1000 = 2000 J   [ P a r t e   C o n s t a n t e ]

K = 1000 -     - 1000 + 0,5 x 2 = 2000 + 0,5 x 2   [ P a r t e   d a   P a r á b o l a ]

O gráfico ficará mais ou menos assim:

Passo 6

d)

Existe alguma relação do potencial com a força ? SIM! E é bem simples:

F = - d U d x

Para cada trecho teremos uma força. Bora lá:

[Parte da Parábola]

F = - d - 1000 + 0,5 x 2 d x = - x N

[Partes Constantes]

Derivada de constante é nula, então: F = 0

[Parte Linear]

F = - d - 3000 - 100 x d x = 100 N

Obs:NÃO ESQUECE DO SINAL DE MENOS NAS DERIVADAS!!

Ah, esse seria o gráfico da força.

Passo 7

e)

Simbora, galera! Só falta mais essa pra acabar!!

O nosso querido amigo autor da questão nos pediu pra fazer o gráfico dessa nova situação aí. A diferença é que a energia mecânica não se conservará, será sendo subtraído o trabalho da força de atrito. Desta forma, teremos:

E M e c x = E M e c - W F a t = E M e c - F a t . ∆ x = E M e c - F a t x - x o

Para ter trabalho da força de atrito, precisamos que o corpo esteja em movimento, como ele nos disse no enunciado, quando x = - 40 m ele entra em movimento, logo podemos considerar o nosso x o = - 40 m .

Substituindo os valores que a gente sabe, vamos ter:

E M e c x = 1000 - 50 x - - 40

E M e c x = 1000 - 50 x + 40 = 1000 - 50 x - 2000 = - 50 x - 1000

E M e c x = - 50 x - 1000

Passo 8

O valor de x M é o valor que U x = E M e c x que é quando o potencial não poderá crescer mais devido o trabalho que foi gasto pelo trabalho da força de atrito. Ou seja, a energia mecânica vai ter decrescido até certo ponto que o potencial não poderia mais aumentar.

Plotando os gráficos sobrepostos, teremos:

Podemos notar graficamente que em x = 0 tanto U x quanto E M e c x valem -1000J, desta forma x M = 0 .

Poderíamos encontrar isso também algebricamente, escrevendo as fórmulas do potencial e da energia mecânica e igualando.

U x = E M e c x

- 1000 + 0,5 x 2 = - 50 x - 1000

x = 0 ou x = 100 , que não vale pra essa questão, já que o potencial máximo está em x = 63 m . Assim:

x M = 0

Resposta

  1. U = 1000 J
  2. x = 63 m

e) x M = 0  

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