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Exercícios Resolvidos de Força Peso e Força Normal

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Enunciado

Um corpo de massa m , inicialmente em repouso no instante inicial t = 0 , é submetido a uma força dependente do tempo F → ( t ) = c t n ^ , onde c é uma constante positiva e n ^ é um vetor unitário que faz um ângulo fixo 0 ≤ α < π / 2 com o eixo horizontal, conforme mostrado na figura abaixo. O coeficiente de atrito estático entre o corpo e a superfície é μ e enquanto o coeficiente de atrito dinâmico (cinético) é μ d .

(a) Faça um diagrama das forças que atuam no corpo no instante inicial e escreva tais forças num sistema de coordenadas apropriado.

(b) Encontre quanto tempo leva para a corpo começar a se movimentar e também o tempo que leva para o corpo “perder” contato com o solo.

(c) Encontre o vetor posição e o vetor velocidade do corpo no instante em que o mesmo perde contato com o solo. Deixe sua resposta em termos de t m e t p e demais quantidades fornecidas no enunciado.

Passo 1

O que tem de “diferentão” nessa questão é essa força F → t variando com o tempo:

F → t = c t n ^

Esse vetor unitário n ^ apenas diz a direção para a qual aponta a força, mas como o próprio nome já diz, ele tem módulo igual a 1 , então ele não altera em nada o módulo de F → t .

Além disso, a expressão de F → t mostra que essa força começa nula:

F → 0 = c 0 n ^ = 0 →

Mas conforme o tempo t vai aumentando, a força vai aumentando também e de forma linear “ t 1 ”.

Beleza, vamos aos itens.

Passo 2

Na letra (a), queremos o diagrama de forças no instante inicial.

Como vimos no Passo 1, temos que a força F → inicialmente é nula:

F → 0 = 0 →

Então, restam apenas as forças peso P → para baixo e a normal N → para cima:

Além disso, ele pede para a gente deixar claro um sistema de referências.

Vamos adotar o sistema de referências padrão x na horizontal e y na vertical, podemos representar essas direções com as componentes i ^ e j ^ :

Respondido o item (a).

Passo 3

Na letra (b), queremos duas coisas distintas. Uma delas é o tempo para o corpo começar a se movimentar e a outra é o tempo para o corpo perder “contato” com o solo.

Vamos uma por uma...

Por que ele pede o tempo para o corpo começar a andar se desde o início a força F → t começa a atuar?

O que acontece é que existe uma força de atrito F → a t agindo contra a tendência de deslizar do bloco, ou seja, inicialmente a força de atrito estático vai manter esse corpo parado.

Isso vai acontecer até que essa força de atrito atinja seu limite máximo, dado por:

F a t m á x = μ e N

Nesse instante, o corpo ultrapassa o limite máximo da força de atrito e entra em movimento.

Queremos justamente esse tempo.

OBS: Esse limite de força de atrito máxima não é fixo. A força F → t varia no tempo, fazendo a força normal N → variar e por consequência F a t m á x também varia.

Passo 4

Vamos começar decompondo a força F → em suas componentes horizontal e vertical, além de considerar uma força de atrito F → a t contrária à força F → :

Podemos escrever as componentes de F → usando o ângulo α :

F → x = c t . c o s α   i ^

F → y = c t . s e n α   j ^

Passo 5

Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton:

Na horizontal, temos um equilíbrio de forças, já que o corpo começa parado devido ao atrito:

F x - F a t = 0

F x = F a t

c t . c o s α = F a t

Na vertical, também temos um equilíbrio inicialmente:

N + F y - P = 0

N + F y = P

N + c t . s e n α = m g

Mas o que fazemos com essas equações?

Passo 6

Primeiro queremos o tempo para que o corpo entre em movimento, ou seja, vamos usar a informação de que a força de atrito atingiu seu valor máximo:

F a t m á x = μ e N

Sendo que já achamos uma relação para essa força normal N :

N + c t . s e n α = m g

N = m g - c t . s e n α

Substituindo isso, temos:

F a t m á x = μ e m g - c t . s e n α

Agora, vamos susbtituir esse valor de F a t m á x na equação de equilibrio na horizontal:

c t . c o s α = F a t m á x

c t . c o s α = μ e m g - c t . s e n α

Isolando o tempo t , e chamando-o de t m , temos:

c t m . c o s α = μ e m g - μ e c t m . s e n α

c t m . c o s α + μ e c t m . s e n α = μ e m g

t m c . c o s α + μ e c . s e n α = μ e m g

t m = μ e m g c . c o s α + μ e c . s e n α

Esse é o tempo que o corpo leva para entrar em movimento.

Passo 7

Beleza, vimos que a partir daí o corpo entra em movimento.

Agora, queremos saber quanto tempo ele leva para “perder” o contato com o chão.

Mas por que ele perderia o contato?

Bom, a força F → t tem uma componente atuando perpendicularmente para cima F → y e ela vai aumentando com o tempo até um dado momento em que ela vence a força peso P → do corpo e consegue suspendê-lo.

Antes disso acontecer, a força que equilibra essa diferença é a força normal N → , portanto no instante limite, essa força normal será zero, mostrando que o corpo está prestes a perder contato:

N = 0

Queremos achar esse novo tempo t p .

Passo 8

Por mais que agora o corpo apresenta uma aceleração na horizontal, a equação de equilíbrio da vertical até o instante limite é a mesma de antes. Então:

Na vertical:

N + F y - P = 0

Mas agora, vamos considerar que em t p a força normal N chega a zero:

0 + c t p . s e n α - m g = 0

t p = m g c . s e n α

Pronto, achamos o instante em que o corpo perde o contato.

Passo 9

Na letra (c), queremos o vetor posição r → e o vetor velocidade v → no instante em que o corpo perde o contato t p .

Para isso, vamos refazer as equações de força resultante, considerando agora que o corpo estava realizando um movimento na horizontal e chega no instante limite de perder o contato.

Como esse é o primeiro instante em que o corpo vai começar a ter um movimento na vertical, é de se esperar que tanto o vetor posição r → quanto o vetor velocidade v → ainda estejam na horizontal.

Passo 10

Na horizontal, temos uma aceleração, logo:

F x - F a t = m a

A força de atrito cinético é dada por:

F a t = μ d N

Substituindo na primeira expressão, temos:

c t . c o s α - μ d N = m a

na vertical, temos ainda um equilíbrio de forças (instante antes de perder o contato):

F y + N - P = 0

Podemos escrever a força normal em função das outras variáveis para substituir esse valor na equação da horizontal:

N = P - F y

N = m g - c t . s e n α

Substituindo na equação da horizontal: c t . c o s α - μ d N = m a

c t . c o s α - μ d m g - c t . s e n α = m a

Assim, conseguimos uma expressão para a aceleração do corpo:

a = c t . c o s α - μ d m g - c t . s e n α m

Como ela varia conforme o tempo t , podemos escrever:

a t = c t . c o s α - μ d m g - c t . s e n α m

a t = c t . c o s α m - μ d m g m + μ d c t . s e n α m

a t = c t m c o s α + μ d s e n α - μ d g

Passo 11

Agora segura na minha mão que as expressões não ficam muito bonitas daqui pra frente, mas vai dar tudo certo, relaxa.

Vamos lá, a aceleração é a variação da velocidade, então a aceleração é a derivada da velocidade:

a t = d v t d t

Mas estamos na situação contrária, nós temos a aceleração a t e queremos achar a velocidade v t . Então, a gente usa a ferramenta contrária da derivada... a integral.

∫ a t d t = v t

São apenas ferramentas inversas, ok?

Então, vamos calcular isso aí:

v t = ∫ c t m c o s α + μ d s e n α - μ d g d t

Estamos integrando em t , ou seja, tudo o que está mltiplicando o t passa a ser uma constante e integramos apenas o próprio t :

v t = ∫ c . c o s α + c . μ d s e n α m t - μ d g   d t

v t = c . c o s α + c . μ d s e n α m t 2 2 - μ g g t + C 1

OBS: Essa constante é adicionada por se tratar de uma integral indefinida, ou seja, sem nenhum limite de integração.

Para encontrarmos o valor dessa constante C 1 , podemos usar o fato de que no tempo já conhecido t m o corpo se encontrava parado, ou seja:

v t m = 0

Assim, temos que:

c . c o s α + c . μ d s e n α m t m 2 2 - μ g g t m + C 1 = 0

C 1 = - c . c o s α + c . μ d s e n α m t m 2 2 + μ g g t m

Então, a nossa expressão para v t vai ser isso tudo junto e misturado:

v t = c . c o s α + c . μ d s e n α m t 2 2 - μ g g t + - c . c o s α + c . μ d s e n α m t m 2 2 + μ g g t m

Tá vendo que aqueles termos em parêntesis que multiplicam os “t”s são iguais?

Então, podemos agrupar eles somando os “t”s:

v t = c . c o s α + c . μ d s e n α m t 2 - t m 2 2 + μ d g t m - t

Melhorando só mais um pouquinho, podemos colocar em evidência o c / 2 m e também já podemos escrevê-lo como vetor na direção horizontal positiva i ^ :

v → t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t 2 - t m 2 + μ d g t m - t i ^

Mas como queremos esse vetor no instante t p , basta aplicar esse valor no lugar do t :

v → t p = c 2 m c o s α + μ d s e n α t p 2 - t m 2 + μ d g t m - t p i ^

Pronto, achamos a velocidade!

Agora só falta o vetor posição r → t .

Vamooo, não desiste!

Passo 12

Como a velocidade v t é a variação da posição r t , ele é sua derivada:

v t = d r t d t

Então, vamos usar a mesma estratégia de antes, mas vamos integrar a expressão antes de substituir a constante C 1 :

r t = ∫ v t d t

r t = ∫ c 2 m c o s α + μ d s e n α t 2 - μ d g t + C 1   d t

Lembrando, todos os termos que não são “ t ” vão funcionar como constantes, então integramos apenas os “t”s, adicionando novamente uma outra constante no final:

r t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t 3 3 - μ d g t 2 2 + C 1 t + C 2

Para achar essa constante C 2 , vamos usar novamente o fato de que o corpo estava parado no instante conhecido t m , ou seja sua posição ainda era zero:

r t m = 0

c 2 m c o s α + μ d s e n α t m 3 3 - μ d g t m 2 2 + C 1 t m + C 2 = 0

C 2 = - c 2 m c o s α + μ d s e n α t m 3 3 + μ d g t m 2 2 - C 1 t m

Passo 13

Agora, vamos escrever r t colocando esse valor de C 2 :

r t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t 3 3 - μ d g t 2 2 + C 1 t + - c 2 m c o s α + μ d s e n α t m 3 3 + μ d g t m 2 2 - C 1 t m

Novamente, temos vários termos parecidos, vamos tentar juntar isso ai:

r t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t 3 3 - t m 3 3 - μ d g t 2 2 - t m 2 2 + C 1 t - t m

Substituindo C 1 , temos:

r t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t 3 3 - t m 3 3 - μ d g t 2 2 - t m 2 2 + - c 2 m c o s α + μ d s e n α t m 2 + μ g g t m t - t m

Agora, vamos simplificar isso.

Passo 14

Para não ficar mais imenso do que já está, vamos multiplicar apenas o termo μ g g t m de dentro dos colchetes pelo termo t - t m lá no final:

r t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t 3 3 - t m 3 3 - μ d g t 2 2 - t m 2 2 + - c 2 m c o s α + μ d s e n α t m 2 + μ g g t m t - μ g g t m 2  

Agora, vamos juntar todos os termos com μ g g , vamos até colocar um [ … ] no lugar dos outros termos para focarmos no que estamos mexendo por enquanto:

r t = … - μ d g t 2 2 - t m 2 2 + … + μ g g t m t - t m 2

Lembrando de ajustar os sinais, pois estamos colocando todos os termos em evidência juntos:

r t = … + μ d g - t 2 2 + t m 2 2 + t m t - t m 2 + …

Podemos tirar o MMC e colocar em evidência a constante 2 :

r t = … + μ d g - t 2 2 + t m 2 2 + 2 t m t 2 - 2 t m 2 2 + …

r t = … + μ d g 2 - t 2 + t m 2 + 2 t m t - 2 t m 2 + …

r t = … + μ d g 2 - t 2 + 2 t m t - t m 2 + …

Botando o sinal de menos em evidência, podemos colocar na forma de um produto notável:

r t = … - μ d g 2 t 2 - 2 t m t + t m 2 + …

r t = … - μ d g 2 t - t m 2 + …

Então, ficamos com:

r t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t 3 3 - t m 3 3 - μ d g 2 t - t m 2 - c t m 2 2 m c o s α + μ d s e n α t - t m

Essa é aquela hora que a gente já começa a se perguntar:

Mas churumelo, estamos no último pequeno passo.

Vambora!

Passo 15

O que a gente fez foi achar o vetor posição (com muito sofrimento rs), para um instante qualquer t .

Lembrando que esse cara é um vetor na direção horizontal, então ele tem a componente i ^ :

r → t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t 3 3 - t m 3 3 - μ d g 2 t - t m 2 - c t m 2 2 m c o s α + μ d s e n α t - t m   i ^

Então, agora basta substituir o t qualquer pelo instante que queremos t p :

r → t p = c 2 m c o s α + μ d s e n α t p 3 3 - t m 3 3 - μ d g 2 t p - t m 2 - c t m 2 2 m c o s α + μ d s e n α t p - t m   i ^

Colocando o 1 / 3 dos termos t 3 , ficamos com:

r → t p = c 6 m c o s α + μ d s e n α t p 3 - t m 3 - μ d g 2 t p - t m 2 - c t m 2 2 m c o s α + μ d s e n α t p - t m   i ^

Achamos a resposta!

Resposta

(a)

(b)

Entrar em movimento:

t m = μ e m g c . c o s α + μ e c . s e n α

Perder contato com o solo:

t p = m g c . s e n α

(c) v → t = c 2 m c o s α + μ d s e n α t p 2 - t m 2 + μ d g t m - t p i ^

r → t p = c 6 m c o s α + μ d s e n α t p 3 - t m 3 - μ d g 2 t p - t m 2 - c t m 2 2 m c o s α + μ d s e n α t p - t m   i ^

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