Uma esfera sólida de raio R flutua, em repouso, em um líquido cuja densidade é ρ com a metade de seu volume submerso. Quando a esfera é suavemente empurrada para baixo e então solta ela começa a oscilar harmonicamente . Mostre que, para estas condições, a frequência de oscilação pode ser calculada por:

f = 1 2 π 3 g 2 R

onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Aqui temos uma esfera de raio R meio submersa em um líquido de densidade ρ , nós empurramos levemente a esfera para dentro do líquido, desta maneira o balanço entre o Peso e o empuxo causado sobre a esfera geram um sistema que oscila harmonicamente, devemos usar esse balanço para calcular que

f = 1 2 π 3 g 2 R

Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

O balanço do peso com o empuxo inicialmente é tal que

P = E

note que podemos escrever o peso da esfera em termos da densidade da esfera, da seguinte maneira

P = m g

como temos que

ρ e = m V

de forma que

P = m g = ρ e V g

O empuxo é como se fosse o peso da massa de líquido deslocada empurrando a esfera para cima, portanto, temos que

E = ρ V 2 g

De forma que o balanço inicial nos dá que

ρ e V g = ρ V 2 g

ou seja, a densidade da esfera e do líquido estão relacionados pela relação

ρ e = ρ 2

Mas porquê precisamos saber esta informação? Vem comigo!

Passo 3

Note que se afundarmos a esfera um pouco no líquido irá surgir uma força resultante de forma que

F R = E ' - P

o novo empuxo, é o empuxo inicial mais um empuxo infinitesimal devido ao pequeno empurrão

E ' = ρ V 2 g + ρ π R 2 Δ x g

em que π R 2 Δ x é um elemento de volume que indica um pequeno deslocamento de massa, o nosso balanço de forças se torna então

F R = ρ V 2 g + ρ π R 2 Δ x g - ρ e V g = ρ π R 2 Δ x

Note que este é o formato de uma força restauradora, ou seja, podemos tomar a constante

k M H S = ρ π R 2 g

como se fosse um coeficiente elástico da “mola”. Uma vez que no MHS temos que

ω 0 2 = k m

temos que

ω 0 = ρ π R 2 g m

usando que m = ρ e V , e que ω = 2 π f , temos que

f = 1 2 π 2 π R 2 g V

usando que

V = 4 3 π R 3

temos finalmente que

f = 1 2 π 3 g 2 R

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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