Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Considera X uma v.a. discreta com a seguinte função de probabilidade:

f x = Pr ⁡ X = x = 5 ! x ! 5 - x ! 1 k 5     p a r a   x = 0,1 , 2,3 , 4,5

  1. Determine a constante k para que f ( x ) seja uma função de probabilidade da variável aleatória X .
  2. Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de X . Plotar em gráfico esta função acumulada.

Passo 1

a)

Lembre-se sempre que a integral está para a função de probabilidade contínua, assim como o somatório está para a função de probabilidade discreta!

Aqui temos que lembrar as condições para uma função ser função de densidade:

f ( x ) ≥ 0

∑ i = 0 n f ( x i ) = 1

Para ser sempre positiva, já podemos ter certeza que k tem que ser positivo. Mas para saber seu valor exato, vamos resolver esse somatório:

∑ i = 0 n f ( x i ) = ∑ i = 0 5 5 ! x i ! 5 - x i ! 1 k 5

Tá indo de 0 a 5 por que esses aí são os valores mínimos e máximos que nosso x pode ser. Abrindo o somatório:

∑ i = 0 5 5 ! x i ! 5 - x i ! 1 k 5 =

= 1 k 5 5 ! 0 ! 5 - 0 ! + 5 ! 1 ! 5 - 1 ! + 5 ! 2 ! 5 - 2 ! + 5 ! 3 ! 5 - 3 ! + 5 ! 4 ! 5 - 4 ! + 5 ! 5 ! 5 - 5 !

= 1 k 5 1 + 5 + 5 ! 2 ! 3 ! + 5 ! 3 ! 2 ! + 5 + 1 = 32 1 k 5

Mas acabamos de ver que isso aí tem que ser igual a 1 , fazendo essa igualdade:

32 1 k 5 = 1

1 k = 0,03125 1 5

1 k = 0,5

k = 2

Passo 2

b)

Para achar a FDA, podemos lembrar que:

P X ≤ x i = F x i = F x i - + p ( x i )

Podemos calculá-la para cada um dos nossos valores de X :

P X ≤ 0 = F 0 = 0 + 5 ! 0 ! 5 - 0 ! 1 2 5 = 1 2 5 = 0,03125

P X ≤ 1 = F 1 = 0,03125 + 5 ! 1 ! 5 - 1 ! 1 2 5 = 0,03125 + 5 1 2 5 = 0,1875

P X ≤ 2 = F 2 = 0,1875 + 5 ! 2 ! 5 - 2 ! 1 2 5 = 0,1875 + 5 ! 2 ! 3 ! 1 2 5 = 0,5

P X ≤ 3 = F 3 = 0,5 + 5 ! 3 ! 5 - 3 ! 1 2 5 = 0,5 + 5 ! 3 ! 2 ! 1 2 5 = 0,8125

P X ≤ 4 = F 4 = 0,8125 + 5 ! 4 ! 5 - 4 ! 1 2 5 = 0,8125 + 5 1 2 5 = 0,96875

P X ≤ 5 = F 5 = 0,96875 + 5 ! 5 ! 5 - 5 ! 1 2 5 = 0,96875 + 1 2 5 = 1

Passo 3

Temos que plotar num gráfico então uma função que comece no 0 e termine no 1 e vá subindo em degraus conforme os valores encontrados:

Resposta

a)

k = 2

b)

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