Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Considere o experimento aleatório onde um dado não viciado (equilibrado) é lançado e o valor da sua face é representado por " w " . Considere a seguinte v.a.: X w = ( w - 3 ) ² . Defina a função de probabilidade acumulada, F x ( x ) , com base na definição da v.a. " X " , acima, e esboce o seu gráfico. Seja preciso tanto nos cálculos como no desenho.

Passo 1

Lendo tranquilamente o enunciado, conseguimos pegar rapidamente qual nosso experimento: lançar um dado, e olhar o valor da face (que ele chamou de w )!

E = j o g a r   o   d a d o   e   o b s e r v a r   o   n ú m e r o   d a   f a c e

Nosso espaço amostral é dado por:

Ω = { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

Passo 2

Já sabemos então que esse w é justamente os valores que podem sair no lançamento de um dado, ou seja, um número de 1 até 6.

Além disso, ele dá pra gente uma variável aleatória X , que é uma função de w , e pede a FDA de X . Para calcularmos F x , precisamos dos valores que X pode assumir e suas probabilidades.

Ou seja, vamos montar uma tabelinha, bem parecido como fazíamos nas questões de função de densidade!

Passo 3

A ideia aqui é começar preenchendo todos os valores que w pode assumir, e, depois disso, também podemos calcular os valores que X pode assumir por meio da função dada no enunciado.

X = 0,1 , 4,9

Sabemos que a probabilidade de sair cada número de um dado é 1 6 . Dessa forma, preenchemos a coluna de f x . Com isso, descobrimos as probabilidades de cada valor que X pode assumir!

f 0 = P X = 0 = 1 6

f 1 = P X = 1 = 1 6 + 1 6 = 1 3

f 4 = P X = 4 = 1 6 + 1 6 = 1 3

f 9 = P X = 9 = 1 6

Passo 4

Pô, agora que já temos todos os valores de probabilidade, podemos fazer nossa FDA!

Tenha certeza que você lembra que a FDA de uma v.a. discreta é dado por um gráfico em forma de escada, e pra gente esboçar esse gráfico, basta calcularmos nossos “pulos”.

Começamos nosso gráfico com X = 0 , onde temos P X = 0 = 1 6 . Como antes de 0 não temos nenhuma probabilidade acumulada, essa probabilidade já é nosso primeiro “pulo”!

P X = 0 = F 0 - F 0 -

1 6 = F x ( 0 )

Passo 5

A ideia agora é procurar o próximo pulo, e isso ocorre no próximo valor que X pode assumir, ou seja, X = 1 .

Sabemos que:

P X = 1 = F 1 - F ( 1 - )

Substituindo os valores, ficamos com:

1 3 = F 1 - 1 6

F x 1 = 1 2

Passo 6

Mantendo o mesmo raciocínio, vamos calcular o pulo em X = 4 .

P X = 4 = F 4 - F ( 4 - )

1 3 = F 4 - 1 2

F x 4 = 5 6

Passo 7

Agora, pra terminar, basta calcular para X = 9 :

P X = 9 = F 9 - F ( 9 - )

1 6 = F 9 - 5 6

F x 9 = 6 6 = 1

E chegamos no valor máximo da nossa FDA, que é 1!

Agora basta esboçar o gráfico e partir pro abraço.

Passo 8

Resposta

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