Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

UFRJ-P1-2014.2.-2(b)

Três bolas enumeradas 1 ,   2 e 3 estão num balde. Sorteamos duas bolas, e somamos os valores obtidos. Seja X este valor.

  1. Obter a função de probabilidade de X se as bolas forem sorteadas com e sem reposição.
  2. Em ambos os casos, desenhar a função de distribuição acumulada de X .

Passo 1

( a ) Vamos começar com o caso com reposição!

X é o valor da soma das duas bolas sorteadas, beleza? Temos primeiro que montar a função de probabilidade de X .

Quais são os possíveis valores de X ? Se X é a soma de duas bolas retiradas com reposição e as bolas são 1 ,   2 e 3 , então os possíveis valores são:

B o l a   1 + B o l a   1 = 2

B o l a   1 + B o l a   2 = 3

B o l a   1 + B o l a   3 = 4

B o l a   2 + B o l a   1 = 3

B o l a   2 + B o l a   2 = 4

Note que B o l a   2 + B o l a   1 B o l a   1 + B o l a   2 , a ordem importa. Então a gente tem 9 combinações de resultados pra retirada das duas bolas.

1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3

Desse jeito a gente tem que os possíveis valores de X são: { 2,3 , 4,5 , 6 } .

Nossa variável X é uma v.a. discreta, concorda? Seus possíveis valores são números fixos, não tem como a soma das duas bolas resultar em 2,23 !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra montar a função de probabilidade de uma v.a. discreta, a gente precisa montar aquela tabelinha, com os possíveis valores de X e a probabilidade de cada um desses valores acontecer.

Os possíveis valores a gente já tem: 2,3 , 4,5 , 6 .

Agora falta calcular a probabilidade de cada um, que é tranquilo.

Vamos começar por P X = 2 .

A soma das duas bolas só resulta em 2 em uma das combinações de bolas, quando sai 1,1 , daí:

P X = 2 = 1 9

Pensando dessa mesma forma a gente consegue todas as prob. que a gente quer.

P X = 3 = 2 9

P X = 4 = 3 9

P X = 5 = 2 9

P X = 6 = 1 9

Você pode até conferir se tá tudo certin, é só ver se a soma de todas as probabilidades dá 1 .

Você pode deixar sua resposta final assim, ou se tiver com tempo sobrando, colocar arrumado numa tabela maneira.

Passo 3

Po, agora vai ser sem reposição, o que que muda? Muda que resultados como 1,1 ,   2,2 e 3,3 não vão ser possíveis, certo?

Então os únicos resultados possíveis são:

1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , 3,2

E assim, os possíveis resultados pra nossa v.a. X soma das duas bolas, vai ser:

X 3,4 , 5

Passo 4

Agora é o mesmo esquema pra calcular a probabilidade de cada resultado possível de X .

P X = 3 = 2 6

P X = 4 = 2 6

P X = 5 = 2 6

É isso aí, dá pra você organizar numa tabela se preferir.

Passo 5

( b ) Função de distribuição acumulada é aquela que parece uma escada, que sempre que você chega num possível valor de X você sobe (acumula) o valor da probabilidade desse valor de X .

Pra primeira situação, com reposição, ficaria:

Ali quando X = 2 , sobe para 1 / 9 , depois em X = 3 1 9 + 2 9 = 1 3

E por aí em diante, acumulando os valores, até chegar em 1 .

Passo 6

Para o caso sem reposição, o gráfico fica assim:

Subindo 1 3 em cada valor de X 3,4 , 5 .

Resposta

a Com reposição:

Sem reposição:

b Com reposição:

Sem reposição:

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