Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição acumulada:

F x = 0 ,         s e   x < - 1 0,2 ,       s e - 1 ≤ x < 2 0,5 ,       s e   2 ≤ x < 5 0,7 ,       s e   5 ≤ x < 6 0,9 ,       s e   6 ≤ x < 15 1 ,       s e   x ≥ 15

Determine:

a) A função de probabilidade, detalhando os passos e mostrando a tabela resultante.

b) P x ≤ - 2 , P x < 5 e P x > 6 .

c) P 3 ≤ x ≤ 12 .

Passo 1

Prontos para uma questão de distribuição de probabilidade acumulada? Lá vamos nós!!!

Você deve saber que a função de distribuição acumulada dá para gente a probabilidade de variável ser menor que aquele valor, isso é,

F x = P X < x

Nossa ideia nesse problema é construir a função de probabilidade conhecendo F x . Para isso, observe que para x < - 1 , temos F x = 0 . Isso significa que nessa região a probabilidade é sempre nula:

P X < - 1 = 0

Agora note que no intervalo - 1 ≤ x < 2 temos F x = 0,2 . Isso significa que para algum x nesse intervalo apareceu uma probabilidade não nula!

É fácil perceber que valor é esse, basta pensar assim: para x < - 1 não tinha aparecido nenhum valor, enquanto para x ≥ - 1 a probabilidade acumulada sofreu um salto para 0,2 . Isso significa que

P x = - 1 = 0,2

Para os demais valores nesse intervalo a probabilidade é nula. Seguindo os demais intervalos fazemos o mesmo raciocínio, sempre olhando para o ponto em F sofre um salto.

Em x = 2 a função F x salta de 0,2 para 0,5 , de modo que

P x = 2 = 0,5 - 0,2 = 0,3

Fazendo o mesmo para o resto:

P x = 5 = 0,7 - 0,5 = 0,2

P x = 6 = 0,9 - 0,7 = 0,2

P x = 15 = 1 - 0,9 = 0,1

Portanto, podemos construir a seguinte tabela de probabilidades:

Note que a soma das probabilidades é 1 , como deve ser.

Passo 2

No item (b) queremos calcular várias probabilidades! A primeira é

P x ≤ - 2 = 0

Não existe nenhum valor de x ≤ - 2 em que a probabilidade não é nula. Para x < 5 temos

P x < 5 = P x = - 1 + P x = 2 = 0,2 + 0,3

P x < 5 = 0,5

Aqui vale uma observação importante: como ele pediu a probabilidade de x < 5 , não podemos incluir a probabilidade de x = 5 . Cuidado para não cair nessas pegadinhas!

Já para x > 6 :

P x > 6 = P x = 15 = 0,1

Nesse caso vale a mesma observação: não podemos incluir o caso x = 6 pois ele pede a probabilidade de x > 6 .

Passo 3

Por fim, no item (c) queremos a probabilidade de x estra entre 3 e 12 :

P 3 ≤ x ≤ 12 = P x = 5 + P x = 6 = 0,2 + 0,2

Logo,

P 3 ≤ x ≤ 12 = 0,4

Esse problema foi tranquilo, né? 😉

Resposta

a) P x = - 1 = 0,2 , P x = 2 = 0,3 , P x = 5 = 0,2 , P x = 6 = 0,2 e P x = 15 = 0,1 .

b) P x ≤ - 2 = 0 , P x < 5 = 0,5 e P x > 6 = 0,1 .

c) P 3 ≤ x ≤ 12 = 0,4 .

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