Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Considere o ponteiro de minutos de um relógio analógico. O relógio, no indicar as horas, dá o número de badaladas correspondente (por exemplo, às 3 horas o relógio dá 3 badaladas), e a cada meia hora dá uma badalada. Considere os 360 minutos a partir do primeiro minuto da hora (incluindo o primeiro minuto). Um minuto nesse período é selecionado aleatoriamente, e a variável aleatória X indica o número de badaladas onvidas nos 20 minutos seguintes ao minuto escolhido.

Calcule o valor da função de probabilidade acumulada F X = ( 3 ) .

  1. 10 / 36
  2. 30 / 36
  3. 18 / 36
  4. 33 / 36
  5. 5 / 36

Passo 1

Falaeeee, beleza? Vamos analisar devagarinho pra podermos entender beleza essa, certinho?

Seguinte... Por definição, a gente sabe que a Função de Probabilidade Acumulada e dada por:

F x 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P ( X = 3 )

Sendo X a variável aleatória que indica o número de badaladas ouvidas 20 minutos após o minuto escolhido.

Assim, vamos calcular as probabilidades citadas acima para um tempo total de 360 minutos

Passo 2

Para P ( X = 0 ) :

Então... considerando uma hora qualquer, para que não sejam ouvidas badaladas ( X = 0 ) , o minuto selecionado deve estar entre 0 e 9 , visto que nos 20 minutos seguintes o relógio iria até os 29 minutos no máximo. Ou seeeeja, antes da badalada de meia hora.

Além disso, o minuto selecionado pode estar entre 30 e 39 , pois o relógio iria nos minutos seguintes até os 59 minutos no máximo, ou seeeja, antes da badalada de virada de hora.

Portanto, a cada hora, existem 20 opções de minutos disponíveis. E, como o tempo total é de 6 horas (360 minutos), ao todo há:

6 ∙ 20 = 120   o p ç õ e s   d e   m i n u t o s  

Dessa forma, P X = 0 = 120 / 360 .

Passo 3

Para P ( X = 1 ) :

Então... uma badalada será ouvida a cada virada de meia hora. Assim, temos disponíveis, a cada hora, os minutos de 10 a 29, ou seja, 20 opções por hora, ou 6 ∙ 20 = 120 opções ao todo.

Porém, apenas uma badalada será ouvida também na virada da primeira hora, ou seja, temos também os minutos de 40 a 59 da primeira hora apenas, ou seja também, mais 20 opções além das 120 anteriores.

Dessa forma, P X = 1 = 140 360

Passo 4

Para P ( X = 2 ) :

A única ocasião em que duas badaladas serão ouvidas é na virada da segunda hora, ou seja, as únicas opções disponíveis são os minutos de 40 a 59 , da segunda hora apenas.

Dessa forma, P X = 2 = 20 / 360 .

Passo 5

Para P ( X = 3 ) :

Seguindo o mesmo raciocínio para X = 2 , temos que P X = 3 = 20 / 360

Passo 6

Dessa forma, temos para F X 3 :

F X 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 ∴

F X 3 = 120 360 + 140 360 + 20 360 + 20 360 ∴

F X 3 = 30 36

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

F X 3 = 30 36

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