Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Considere uma variável discreta com a seguinte função de probabilidade.

f x = Pr ⁡ X = x = 5 ! x ! 5 - x ! 1 k 5         p a r a   x = 0,1 , 2,3 , 4,5

  1. Ache a constante “ k ” que faz f x uma função de probabilidade.
  2. Encontre a função de distribuição ou função de distribuição acumulada? Plotar em gráfico esta função acumulada.

Passo 1

(a)

O que que uma função precisa pra ser considerada uma função de probabilidade? Isso você tem que saber, fundamental... a principal características dessas funções é que a integral ou o somatório delas tem que ser 1 .

Nesse caso, como é uma função discreta (para valores fixos), não faz sentido integrar, então vamos fazer um somatório do valor dessa função, substituindo   x = 0 , 1,2 , 3,4 , 5 . E vamos igualar a 1 , assim a gente descobre k .

Passo 2

Primeiro vamos substituir os valores de x na função.

P X = 0 = 5 ! 0 ! 5 - 0 ! 1 k 5

= 5 ! 5 ! 1 k 5 = 1 k 5

P X = 1 = 5 ! 1 ! 5 - 1 ! 1 k 5

= 5 ! 4 ! 1 k 5 = 5 k 5

P X = 2 = 5 ! 2 ! 5 - 2 ! 1 k 5

= 5 ! 12 1 k 5 = 10 k 5

P X = 3 = 5 ! 2 ! 5 - 2 ! 1 k 5

= 5 ! 2 ! × 3 ! 1 k 5 = 10 k 5

P X = 4 = 5 ! 4 ! 5 - 4 ! 1 k 5

= 5 ! 4 ! 1 k 5 = 5 k 5

P X = 5 = 5 ! 5 ! 5 - 5 ! 1 k 5

= 5 ! 5 ! 1 k 5 = 1 k 5

Somando agora todas essas parcelas, a gente tem que o somatório total é:

= 32 k 5

Passo 3

Agora é só igualar isso a 1 pra descobrir o valor de k .

32 k 5 = 1

k 5 = 32

k = 32 5

k = 2

f x = 5 ! x ! 5 - x 1 2 5

Passo 4

(b)

Como essa função é discreta, a gente sabe que nosso gráfico da acumulada vai ser aquela escadinha, concorda? Começando do zero e indo até o 1 .

A cada valor de X possível ( 0 , 1,2 , 3,4 , 5 ) vamos dar um pequeno salto que representa o valor da probabilidade desse valor x i . A gente já conhece a probabilidade de cada valor possível de X , é só substituir na função de probabilidade que a gente acabou de achar.

Por exemplo...

P X = 0 = 5 ! 0 ! 5 - 0 ! 1 2 5 = 0,03125

P X = 1 = 5 ! 1 ! 5 - 1 ! 1 2 5 = 0,15625

P X = 2 = 5 ! 2 ! 5 - 2 ! 1 2 5 = 0,3125

P X = 3 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! 1 2 5 = 0,3125

P X = 4 = 5 ! 4 ! 5 - 4 ! 1 2 5 = 0,15625

P X = 5 = 5 ! 5 ! 5 - 5 ! 1 2 5 = 0,03125

Passo 5

A nossa função acumulada F ( x ) , vai ser assim..

F 0 = f 0 = 0,03125

F 1 = F ( 0 ) + f 1 = 0,03125 + 0,15625

F 1 = 0,1875

F 2 = F 1 + f 2 = 0,1875 + 0,3125

F 2 = 0,5

F 3 = F 2 + f 3 = 0,5 + 0,3125

F 3 = 0,8125

F 4 = F 3 + f 4 = 0,8125 + 0,15625

F 4 = 0,96875

F 5 = F 4 + f 5 = 0,96875 + 0,03125

F 5 = 1

Nota que no final deu 1 como já era de se esperar.

Passo 6

Agora é só montar o gráfico, vai ficar mais ou menos assim....

Resposta

a   k = 2

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