Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Sabe-se que a v.a. X assume os valores 1, 2 e 3 e que sua f.d.a. F(x) é tal que>

F 1 - F 1 - = 1 3

F 2 - F 2 - = 1 6

F 3 - F 3 - = 1 2

Obtenha a distribuição de X, a f.d.a. F(x) e o gráfico.

Passo 1

Sabemos que

P ( X = x i ) é igual ao salto que a função F ( x ) dá no ponto x i

E que P X = x i = F x i - F x i - .

Então pelo enunciado sabemos que:

P X = 1 = 1 3 P X = 2 = 1 6

P X = 3 = 1 2

Montando sua tabela de distribuição teremos:

Passo 2

Agora vamos montar a f.d.a de X?

Temos quatro intervalos correto? Eles são

x < 1

1 ≤ x < 2

2 ≤ x < 3

x > 3

Para calcularmos a f.d.a de cada intervalo desse precisamos:

1º) Lembrar dos dados o enunciado

2º) Lembrar que estamos falando da distribuição acumulada portanto sempre precisamos olhar o intervalo anterior.

Vamos lá?

  • x < 1 → Bom, temos apenas três pontos no nosso enunciado e o primeiro é ponto 1 portanto antes dele podemos falar que F(X)=0.
  • 1 ≤ x ≤ 2 → Lembra da primeira coisa que falamos na questão? Aquele “F(X)-F((X-)” é o salto que a função dá naquele ponto. Sabemos que o “salto” que a função dá no ponto portanto nesse intervalo saltamos do 0 para do 1 3 .
  • 2 ≤ x ≤ 3 → Fazendo a mesm coisa que fizemos no item anterior podemos ver que nesse intervalo saltamos 1 6 . O erro aqui é pensar que por saltar isso estaremos nesse ponto. Lembre-se queremos a FUNÇÃO ACUMULADA. Nós estávamos no ponto 1 3 e saltamos 1 6 .   Assim chegaremos no ponto: 1 3 + 1 6 = 1 2 .
  • x > 3 → Agora já pegamos o jeito nisso né? Como salto foi de 1 2 e estávamos no ponto 1 2 , chegaremos no ponto: 1 2 + 1 2 = 1 .

Escrevendo mais bonitinho...

F X = 0 ,       x < 1 1 3 ,       1 ≤ x < 2 1 2 ,       2 ≤ x < 3 1 ,       x ≥ 3

Passo 3

Montando um gráfico:

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