Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Uma variável aleatória X discreta tem a seguinte função de probabilidade:

f X x = k x 2 ,     x = 1,2 2 5 x ,     x = 3,4 , 5 , … 0 ,     x ∉ 1,2 , 3 , …

Pede-se:

Calcular o valor do parâmetro k , detalhando os passos para que f seja uma função de probabilidade. Apresente a função de probabilidade e seu domínio.

Passo 1

Fala pessoal, bora resolver mais uma questão de PROBEST?

Nessa questão vamos trabalhar com uma distribuição de probabilidade discreta com x = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   … . Isso significa que x deve ser um inteiro positivo, caso não seja, a probabilidade é nula, o que é descrito pela última linha da função dada no enunciado.

Se x = 1 ou x = 2 , temos que f X x = k x 2 . Já para x > 2 inteiro, temos f X x = 2 5 x . A primeira coisa que devemos fazer é determinar o valor da constante k para que a função de probabilidade seja normalizada. Isso significa que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1 :

∑ i f X x i = f X 1 + f X 2 + f X 3 + … = 1

Repare que eu escrevi sem fim, já que existem infinitos valores de x inteiros positivos.

Passo 2

Para x = 1 e x = 2 temos:

f X 1 = k ⋅ 1 2 = k

f X 2 = k ⋅ 2 2 = 4 k

Já para x > 2 :

f X 3 = 2 5 3

f X 4 = 2 5 4

f X 5 = 2 5 5

E assim por diante...

O próximo passo é substituir tudo na condição de normalização:

k + 4 k + 2 5 3 + 2 5 4 + 2 5 5 + 2 5 6 + … = 1

Ou ainda,

5 k + 2 5 3 + 2 5 4 + 2 5 5 + 2 5 6 + … = 1

Passo 3

Repare que o termo infinito é a soma de uma PG onde o primeiro termo é

a 1 = 2 5 3

e a razão é

q = 2 5

Com isso, o segundo termo é

a 2 = a 1 q = 2 5 3 ⋅ 2 5 = 2 5 4

E assim por diante...

Como a razão dessa PG é q < 1 , a soma dessa PG infinita converge para

S ∞ = a 1 1 - q

Portanto,

2 5 3 + 2 5 4 + 2 5 5 + 2 5 6 + … = 2 5 3 1 - 2 5 = 2 5 3 3 5 = 2 3 5 3 ⋅ 5 3 = 8 75

Desta forma, a condição de normalização fica

5 k + 8 75 = 1

Agora podemos achar k :

5 k = 1 - 8 75 = 67 75

k = 67 375

Passo 4

Com isso, a função de probabilidade pode ser escrita como

f X x = 67 375 x 2 ,     x = 1,2 2 5 x ,     x = 3,4 , 5 , … 0 ,     x ∉ 1,2 , 3 , …

A seguir faço um esboço da função:

Note que para x > 2 a probabilidade vai ficando cada vez menor. OBS: a distribuição não acaba em x = 7 , ela continua para x = 8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   … , mas seus valores ficam cada vez menores.

Resposta

k = 67 375

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