Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Uma variável aleatória 𝑋 discreta tem a seguinte função de probabilidade:

f X x = k x 2 ,       x = 1,2 2 5 x , x = 3,4 , 5 0   ,   x ∉ 1,2 , 3

Pede-se:

Calcular o valor do parâmetro k , detalhando os passos, para que f seja uma função de probabilidade. Apresente a função de probabilidade e seu domínio.

Passo 1

E aí, galerinha!

Tarefinha 3, agora!

Bora pra questão 2!

Bom! Nessa primeira letra, a questão dá a função f X ( x ) , igual à...

f X x = k x 2 ,       x = 1,2 2 5 x , x = 3,4 , 5 0   ,   x ∉ 1,2 , 3

Passo 2

E então, pra achar a função de probabilidade, vamos substituir os valores de X que a função nos deu...

Para x = 1 :

f X x = k x 2

f X 1 = k

Para x = 2 :

f X x = k x 2

f X 2 = 4 k

Para x = 3 , 4,5 em diante por sua vez, a função correspondente é 2 / 5 x . Desse jeito, para x = 3 ...

f X x = 2 5 x

f X 3 = 2 5 3 = 8 125 = 0.064

Já para x = 4 ;

f X x = 2 5 x

f X 4 = 2 5 4 = 16 625 = 0.0256

E para x = 5 ;

f X x = 2 5 x

f X 5 = 2 5 5 = 32 3125 = 0.01024

Como podemos ver aí, conforme a gente aumenta o valor de x , a função vai diminuindo. Só que ela não para em 5 .

A nossa função 2 / 5 x , se estende de 3 digamos, até o infinito. Então, na real o que a gente tem que fazer é usar o somatório através de séries.

Se liga, escrevemos o somatório como...

∑ x = 3 ∞ 2 5 x = 8 125 + 16 625 + 32 3125 + …

Isso aí é uma série geométrica. Só que começa de x = 3 e vai até o infinito. Podemos então, escrever a relação anterior como...

∑ x = 3 ∞ 2 5 x = ∑ x = 0 ∞ 2 5 x - ∑ x = 0 3 2 5 x

∑ x = 3 ∞ 2 5 x = ∑ x = 0 ∞ 2 5 x - 1 - 2 5 - 4 25

E também sabemos que...

∑ x = 0 ∞ 2 5 x = lim x → ∞ ⁡ 1 - 2 5 x + 1 1 - 2 5 = 1 1 - 2 5 = 5 3

Sendo assim, chegamos ao seguinte resultado...

∑ x = 3 ∞ 2 5 x = 5 3 - 1 - 2 5 - 4 25

∑ x = 3 ∞ 2 5 x = 125 - 75 - 30 - 12 75

∑ x = 3 ∞ 2 5 x = 8 75

Passo 3

Quanto à qualquer valor de x diferente de 1 em diante, o resultado da função f X ( x ) vai ser zero. Somando tudo do passo anterior, o resultado tem que ser 1 :

k + 4 k + 8 75 = 1

5 k = 1 - 8 75

5 k = 67 75

k = 67 375

k = 0,1787

E então, podemos escrever a função de probabilidade, já destacando os subintervalos de domínio, como...

f X x = k x 2 ,       x = 1,2 2 5 x , 3 ≤ x ≤ ∞ 0   ,   x ≤ 0

Resposta

f X x = k x 2 ,       x = 1,2 2 5 x , 3 ≤ x ≤ ∞ 0   ,   x ≤ 0

k = 67 375 ≅ 0,1787

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