Exercícios Resolvidos de Função de uma Variável Aleatória Discreta

UERJ-lista 1 prof Fabiano-20

Uma máquina do tipo caça-níqueis é composta por três discos que giram de forma independente, cada qual contendo as seguintes figuras: 2 laranjas, 3 bananas, 4 maçãs e 5 morangos. O apostador deve pagar 50 reais para jogar. Se sair 3 laranjas, ele ganha 250 reais; se sair 3 bananas, ganha 200 reais; se sair 3 maçãs, ganha 150 reais e se sair 3 morangos, ganha 100 reais; em qualquer outra situação ele perde. Pergunta-se: qual o lucro esperado de um jogador em uma jogada? E se o jogador fizer dez jogadas?

Passo 1

Tá, primeiro a gente tem que avaliar quais são as possibilidades de lucro que a gente tem.

E depois a gente calcula a probabilidade de cada uma acontecer, pra gente conhecer o lucro esperado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Quais são os possíveis lucros ?

A gente sabe que independente do que sair, ele paga 50 reais.

Bom, quando sair 3 laranjas, ele recebe 250 reais, tendo um lucro de 200 reais. Concorda?

Pensando da mesma forma:

3   l a r a n j a s -   r e c e b e   250 - l u c r a   200

3   b a n a n a s - r e c e b e   200 - l u c r a   150

3   m a ç ã s - r e c e b e   150 - l u c r a   100

3   m o r a n g o s - r e c e b e   100 - l u c r a   50

Qualquer outro resultado que saia ele tem um prejuízo de 50 reais. Beleza?

q u a l q u e r   o u t r o   r e s u l t a d o - p r e j u í z o   d e   50

Passo 3

Organizando numa tabela pra ficar mais fácil:

Agora vamos calcular a probabilidade de cada um desses lucros.

Passo 4

Pra calcular a probabilidade do cara lucrar 200 reais, é só a gente calcular a probabilidade de saírem 3 laranjas.

Em cada disco a gente tem um total de 14 possibilidades (14 imagens), sendo 2 delas laranjas. Então a probabilidade de sair uma laranja em um dos discos é:

P L = 2 14

Mas a gente quer P ( L ∩ L ∩ L ) , 3 laranjas nos 3 discos, que será:

P L ∩ L ∩ L = 2 14 × 2 14 × 2 14 = 8 2744

Passo 5

Pra calcular a probabilidade do cara lucrar 150 reais, é só a gente calcular a probabilidade de saírem 3 Bananas.

Em cada disco a gente tem um total de 14 possibilidades (14 imagens), sendo 3 delas bananas. Então a probabilidade de sair uma banana em um dos discos é:

P B = 3 14

Mas a gente quer P ( B ∩ B ∩ B ) , 3 laranjas nos 3 discos, que será:

P B ∩ B ∩ B = 3 14 × 3 14 × 3 14 = 27 2744

Passo 6

Fazendo o mesmo racicínio para as maçãs e os morangos a gente tem que:

A probabilidade de se lucrar 100 reais, que é a probabilidade de sair 3 maçãs é:

P M a ∩ M a ∩ M a = 4 14 × 4 14 × 4 14 = 64 2744

E a probabilidade de lucrar 50 reais será:

P M o ∩ M o ∩ M o = 5 14 × 5 14 × 5 14 = 125 2744

Passo 7

Falta só calcular a probabilidade de qualquer outro resultado sair, fazendo o cara ter prejuízo de 50 reais.

Pensa comigo!

P q u a l q u e r   o u t r o   r e s u l t a d o = 1 - ∑ P d o s   r e s u l t a d o s   q u e   a   g e n t e   j á   c a l c u l o u

Concorda ?

∑ P d o s   r e s u l t a d o s   q u e   a   g e n t e   j á   c a l c u l o u = 8 2744 + 27 2744 + 64 2744 + 125 2744 = 224 2744

Logo:

P q u a l q u e r   o u t r o   r e s u l t a d o = 1 - 224 2744

= 2520 2744

Passo 8

Vou montar uma tabelinha agora com os possíveis lucros que o jogador pode ter e a probabilidade de cada um acontecer, tranquilo?

Passo 9

Chamando de X a v.a. que representa o lucro de um jogador em uma jogada.

Pra gente saber o lucro médio pra uma jogada, a gente tem que calcular a esperança dessa variável.

Como se trata de uma variável discreta (que assume valores específicos: 200, 150, 100, 50 e -50), a esperança é dada por:

E X =   ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

Usando a nossa tabela...

E X = 200 × 8 2744 + 150 × 27 2744 + 100 × 64 2744 + 50 × 125 2744 - 50 × 2520 2744

E X ≅ - 39,25

Passo 10

Agora pra saber o lucro esperado de 10 jogadas, a gente precisa calcular:

E 10 . X =   ?

Concorda ?

Usando as propriedades da esperança a gente tem que:

E 10 . X = 10 × E X

Que a gente já calculou.

E 10 . X = 10 × - 39,25

E 10 . X ≅ - 392,5

Resposta

E X ≅ - 39,25           e         E 10 . X ≅ - 392,5

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