Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Discreta

UFRJ – CCMN – IM – Departamento de Métodos Estatisticos. Segunda Avaliação de Probabilidade e Estatística

Sejam X e Y variáveis aleatórias cuja função de probabilidade conjunta seja dada como abaixo, onde p i , j = P X = i , Y = j , para i = 1,2 , 3 e j = 0,1 , 2 :

p 1,0 = 0,1 ; p 2,0 = 0,1 ; p 3,0 = 0,2 ;

p 1 , 1 = 0,1 ; p 2 , 1 = 0 ; p 3 , 1 = 0,2 ;

p 1 , 2 = 0 , 2 ; p 2 , 2 = 0,1 ; p 3 , 2 = 0 ;

  1. Determine as distribuições marginais de X e Y
  2. X e Y são independentes? Justifique
  3. Determine a Distribuição de S = X + Y e calcule E ( S ) , a esperança de S
  4. Calcule V a r ( S ) , a variância de S .

Passo 1

(a) A distribuição marginal de de um subconjunto é a distribuição de probabilidade das variáveis desse subconjunto, ou seja

f x = P X = x = ∑ y p ( x , y )

Tomando o que é proposto no passo 1, temos que

p 1 , y = P X = 1 = p 1,0 + p 1,1 + p 1,2 = 0,1 + 0,1 + 0,2 = 0,4

Seguindo a mesma lógica para todas as outras distribuições

p 2 , y = P X = 2 = p 2 , 0 + p 2 , 1 + p 2 , 2 = 0,1 + 0 + 0 , 1 = 0 , 2

p 3 , y = P X = 3 = p 3 , 0 + p 3 , 1 + p 3 , 2 = 0 , 2 + 0 , 2 + 0 = 0 , 4

E agora para y

p x , 0 = P Y = 0 = p 1 , 0 + p 2 , 0 + p 3 , 0 = 0,1 + 0,1 + 0,2 = 0,4

p x , 1 = P Y = 1 = p 1 , 1 + p 2 , 1 + p 3 , 1 = 0,1 + 0 + 0,2 = 0 , 3

p x , 2 = P Y = 2 = p 1 , 2 + p 2 , 2 + p 3 , 2 = 0 , 2 + 0,1 + 0 = 0 , 3

Que são nossas distribuições marginais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Duas variáveis são consideradas independentes, se e somente se

P X = x ∧ Y = y = P X = x P ( Y = y )

Assim vamos recorrer ao que já calculamos. Tome X = 2 e Y = 1

P 2,1 = 0

Enquanto

P X = 2 = 0,2

E

P Y = 1 = 0,3

Ou seja

P X = 2 P Y = 1 = 0,06 ≠ 0

Assim

P X = 2 ∧ Y = 1 ≠ P X = 2 P ( Y = 1 )

Implicando que nossas variáveis não são independentes.

Passo 3

(c) ok, queremos saber quanto vale a distribuição S = X + Y , assim tome que

P S = 1 = p 1,0 = 0,1

P S = 2 = p 2,0 + p 1,1 = 0,1 + 0,1 = 0,2

P S = 3 = p 3,0 + p 2,1 + p 1,2 = 0,2 + 0 + 0,2 = 0,4

P S = 4 = p 3,1 + p 2,2 = 0,2 + 0,1 = 0,3

P S = 5 = p 3,2 = 0

Até aqui, tranquilo, certo? Mas rlx, não fica pior não hahaha

Tome que

E S = 1 × 0,1 + 2 × 0,2 + 3 × 0,4 + 4 × 0,3 + 5 × 0 = 2,9

Que é nossa esperança.

Passo 4

(d) Por fim queremos calcular a V a r S .

Lembrand o que

V a r S = E [ S - E S 2 = E S 2 - E S 2

Pois bem, tome que

E S 2 = ∑ S 2 p S

Assim

E S 2 = 1 2 × 0,1 + 2 2 × 0,2 + 3 2 × 0,4 + 4 2 × 0,3 + 5 2 × ( 0 )

que resulta em

E S 2 = 9,3

Assim temos que

V a r S = 9,3 - 2,9 2 = 0,89

Resposta

(b) Não.

(c) 2,9

(d) 0,89

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