Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

Suponha que um indivíduo jogue um jogo de azar em que é possível perder R $ 1,00   , empatar, ganhar R $ 3,00   ou ganhar R $ 5,00   cada vez que ele joga. A distribuição de probabilidade para cada resultado é fornecida pela tabela seguinte.

Sabendo-se que em média o indivíduo ganha R $ 0,80   por jogo, os valores de x   e   y são respectivamente:

Passo 1

Fala pessoal, Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Essa questão é bem bacana, pois trabalha com definições e propriedades básicas de probabilidade. Então mão na massa!!

Nessa questão queremos descobrir quem são x   e   y , e para isso temos uma tabela contendo todos os possíveis valores do jogo e suas probabilidades.

Além disso, sambemos que, em média, se ganha 0.8   reais.

Vamos começar essa questão revisando algumas propriedades

Passo 2

Se Ω representa todo o nosso espaço amostal, então P Ω   = 1 . Vamos usar esse fato

Seja X   o valor retornado no jogo de azar, então.

P X = - 1 ∪ X = 0 ∪ X = 3 ∪ X = 5   =   1

⇒   P X = - 1 + P X = 0   +   P X = 3   +   P X = 5 = 1

(substituindo pelos valores da tabela)

⇒   x + 0.4   +   y   +   0.1 = 1  

⇒   x +   y     =   0.5  

Olha só, conseguimos encontrar uma relação entre x   e   y , será que podemos encontrar outra para formar um sistema de equações?

Passo 3

No passo anterior, descobrimos que x +   y     =   0.5     , nosso objetivo agora é encontrar outra equação envolvendo essas variáveis.

O enunciado informa que E X   =   0.8 . Mas temos também que

E X   =   ∑ z = - 1 5 z P X = z (pela definição da esperança)

=   - x     +   3 y   +   0.5  

⇒   - x     +   3 y   +   0.5   =   0.8    

⇒   - x     +   3 y     =   0.3    

Pronto, conseguimos nossa segunda expressão, agora podemos calcular x   e   y

Passo 4

Dos passos anteriores, descobrimos que

- x     +   3 y     =   0.3      

  x +   y     =   0.5    

Então vamos resolver esse sistema

  x   +   y     =   0.5           ⇒   x     =   0.5     - y   substituido na primeira equação

- 0.5   +   y   +   3 y   =   0.3  

⇒   y   =   0.2  

E x   =   0.3  

E assim terminamos a questão pessoal!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão!! Bons estudos ☺

Resposta

0.3   ;   0.20  

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