Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

Seja a variável aleatória X   , considere:

  1. Se X   =   1    
  2. ⇒   E X   =   1

  3. E X   +   2 X   =   3 E X
  4. V X   +   2 X   =   3 V X
  5. E X 4   =   V X 2   +   V X   +   E X 2 2

Quais afirmações são corretas?

Passo 1

Fala pessoal. Vamos para mais uma questão. Dessa vez uma com mais manipulação algébrica.

Para poder verificar se cada alternativa é verdadeira ou não precisamos chegar à conclusão da alternativa ou apresentar um contra argumento.

Mas antes disso, vamos relembrar a definição de variância de uma variável aleatória.

V X   =   E X 2   -   E X 2

Passo 2

Começando pela letra a) temos:

X   =   1    

⇒   P X = 1   =   1

⇒   E X   =   1 P X = 1   =   1

A letra a) é verdadeira

Passo 3

Vamos verificar a letra b)

⇒   E X   +   2 X   = E 3 X    

E 3 X     =   3 E X

a última igualdade é decorrente da linearidade da esperança. Então a letra b) é verdadeira.

Passo 4

Vamos verificar a letra c)

⇒   V X   +   2 X   =   V 3 X

=   E 3 X   2   -   E 3 X 2  

=   E 9 X   2   -   3 E X 2

9 E X   2   -   9 E X 2   =   9 E X   2   -   E X 2 =   9 V X

  9 E X   2   -   E X 2   =   9 V X

Passo 5

Ufa, fizemos bastante coisa, agora só resta verificarmos a letra d) .

Para isso, vamos relembrar a definição de variância.

V X   =   E X 2   -   E X 2

V X 2   +   V X   +   E X 2 2   =   V X 2   +   V X 2   +   2 V X E X 2   +   E X 4

  =   E X 4   -   E X 2 2   +   E X 2   -   E X 2 2   +   2 V X E X 2   +   E X 4

  =   E X 4   -   E X 2 2   +   E X 2 2   -   2 E X E X 2   +   E X 4   +   2 E X 2   - E X 2 E X 2   +   E X 4   =   E X 4     -   2 E X 2 E X 2   +   2 E X 2   - E X 2 E X 2   +   2 E X 4

=   E X 4

Essa alternativa era bem trabalhosa por conta da quantidade de conta que foi preciso fazer.

Resposta

a) , b), e d)

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