Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

Ver Teoria

Enunciado

05) Uma variável aleatória contínua X possui a seguinte função densidade de probabilidade:

f x =   x ,     0 ≤ x ≤ 1 2 - x ,     1 ≤ x ≤ 2 0 ,     c a s o   c o n t r á i o .

O valor esperado de X é:

A) 1

B) 0

C) 2

D) 0,5

E) 1,5

Passo 1

Faaala gente bonita! Tudo bom com vocês?

Temos aqui uma questão bem direta de probabilidade na parte de variáveis aleatórias contínuas. Basicamente, o enunciado nos dá a função densidade de probabilidade de uma V.A X e nos pede para calcular o valor esperado, ou seja, E X .

Beleza! Mas vocês lembram como podemos calcular o valor esperado de variáveis aleatórias contínuas?

A ideia é usar justamente a nossa função densidade de probabilidade em uma integralzinha:

E X = ∫ x ⋅ f x d x

Massa! Então mãos à obra.

Passo 2

Nesse caso, a função densidade de probabilidade é definida por partes. Logo, separando a integral nos respectivos intervalos, ela vai ficar:

E x = ∫ - ∞ 0 x ⋅ 0 d x + ∫ 0 1 x ⋅ x d x + ∫ 1 2 x ⋅ 2 - x d x + ∫ 2 + ∞ x ⋅ 0 d x

Bom, a primeira e a última integral vão ser nulas porque dentro dela estamos multiplicando por zero. Assim, nosso problema se resume a:

E X = ∫ 0 1 x ⋅ x d x + ∫ 1 2 x ⋅ 2 - x d x    

Vamos por partes, começando pela primeira integral:

∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 0 1 = 1 3  

Já na segunda integral vamos ter:

∫ 1 2 x ⋅ 2 - x d x =   ∫ 1 2 2 x - x 2 d x =

∫ 1 2 2 x - x 2 d x = x 2 - x 3 3 1 2 =

4 - 8 3 - 1 - 1 3 = 3 - 7 3

Beleza! Somando os dois resultados vamos ter que:

E X = ∫ 0 1 x ⋅ x d x + ∫ 1 2 x ⋅ 2 - x d x

∴ E X = 1 3 + 3 - 7 3

Por fim:

E X = 3 - 6 3 = 1

Prontinho! Matamos mais uma questão galera!

Vou esperar vocês na próxima, valeu! Tamo junto.

Resposta

Letra A: 1

Exercícios de Livros Relacionados

Seja X o dano (em valor monetário) incorrido por um determinado tipo de acidente em um ano. Os valores possíveis de X são 0, 1000, 5000 e 10000, com probabilidades 0,8, 0,1, 0,08 e 0,02 respectivament
Uma empresa de fornecimento de materiais químicos atualmente possui em seu estoque 100 libras de um determinado produto, vendido aos clientes em lotes de 5 libras. Seja X = número de lotes pedidos por
Um indivíduo que possui um seguro de automóvel de uma determinada empresa é selecionado aleatoriamente. Seja Y o número de infrações ao código de trânsito para as quais o indivíduo foi reincidente nos
Suponha que o número de certo tipo de planta encontrada em uma região retangular (denominada quadrat pelos ecologistas) em uma determinada área geográfica seja uma va X com fmp
Seja X resultado de um dado lançado uma vez. Se antes de lançar o dado, oferecessem a você (1/3,5) dólares ou h(X) 1/X dólares, você aceitaria a quantia garantida ou faria a aposta? [Nota: Normalmente