Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

A tabela abaixo mostra a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y .

Sabe-se que C o v [ X , Y   ]   =   0 . Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?

a) X e Y são variáveis independentes e a   =   b .

b) ρ ( X , Y   )   =   0 e a / b   =   2 .

c) E [ Y ]   =   1   e   E [ X ]   =   E [ X Y ] .

  1. Só (a)
  2. Só (c)
  3. Só (a) e (b)
  4. Só (b)
  5. Só (b) e (c)

Passo 1

Falaeee, beleza? Seguinte... vamos analisar caso por caso para podermos entender melhor, certinho?

Na letra (a), se X e Y são independentes, temos:

P X = x Y = y = P X = x ∙ P ( Y = y )

No entanto, temos que, pela probabilidade condicional:

P X = 1 Y = 1 = P X = 1 ∩ Y = 1 P Y = 1 ∴

P X = 1 Y = 1 = 0,2 0,4 = 0,5

E que:

P X = x ∙ P Y = y = 0,4 ∙ 0,4 = 0,16

Logo, como os resultados foram diferentes, X e Y não são independentes. Logo essa afirmação é FALSA!!

Passo 2

Como C o v X , Y = 0 , calculamos:

C o v X , Y = E X Y - E X ∙ E ( Y )

Em que:

  • E X Y = 0 ∙ 0 ∙ a + 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ b + 1 0 ∙ 0,1 + 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,1 ∴ E X Y = 0 + 0,4 = 0,4
  • E X = 0 a + 0,2 + b + 1 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4
  • E Y = 0 a + 0,1 + 1 0,2 + 0,2 + 2 b + 0,1 = 0,6 + 2 b

Assim, vemos que:

0 = 0,4 - 0,4 0,6 + 2 b ∴ b = 0,2

Pela soma das probabilidades da tabela, substituímos b por 0,2 . Assim, temos:

a + 0,2 + b + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 1 ∴

a + 0,2 + 0,2 + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 1 ∴

a = 0,2

Dessa forma, verifica-se que a b = 1 , e não 2 . Assim, essa afirmação também é FALSA!!

Passo 3

Da letra (b), vemos que:

  • E Y = 0,6 + 2 b ∴ E Y = 0,6 + 2 ∙ 0,2 = 1
  • E X Y = E X = 0,4

Logo, essa afirmação é VERDADEIRA!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Só (c)

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