Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

Duas variáveis aleatórias quaisquer X   e   Y são identicamente distribuidas e independentes. Sejam as variáveis aleatórias Z = X + Y   e   W = X - Y . Qual das alternativas está correta?:

A) Z   e   W tem covariància igual a meio.

B) Z   e   W tem correlação nula.

C) Z   e   W são independentes.

E) Z   +   W   tem distribuição normal.

D) nenhuma das anteriores

Passo 1

Fala galera, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Nessa questão queremos verificar qual das alternativas é verdadeira.

Temos que Z = X + Y   e   W = X - Y

Passo 2

Vamos começar da letra E).

Temos que:

Z + W   =   X   + Y   + X   - Y  

=   2 X    

Será que é verdade que 2 X     tem distribuição normal? Se X     for normal 2 X     também será. Mas o enunciado nos diz que X     é uma distribuição qualquer. Então nada podemos afirmar sobre a distribuição de 2 X    

Passo 3

Vamos verificar a letra B)

Lembram como é definida a correlação de uma variável aleatória? Vamos relembrar.

ρ x , y   =   C o v x , y σ x σ y

Onde   C o v x , y   =   E x y   -   E X E Y

No nosso caso, queremos calcular   C o v Z , W

  C o v Z , W   =   E Z W   -   E Z E W

=   E X + Y X - Y   -   E X + Y E X - Y

(abrindo o produto notável)

=   E X 2   -   Y 2   -   E X + Y E X - Y

(pela linearidade da esperança)

=   E X 2   -   E Y 2   -   E X + E Y E X - E Y

(abrindo o produto notável)

=   E X 2   -   E Y 2   -   E X 2 + E Y 2

= V X   -   V Y

(como X   e   Y tem a mesma distribuição, então terão a mesma variância)

= 0  

Logo:

ρ x , y   =   C o v x , y σ x σ y

  =   0  

Letra b) é a verdadeira

Resposta

b)

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