Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

Seja X i   ,   i   =   1,2 , 3 , uma sequência de variáveis aleatórias independentes (resultados de 3 experimentos idênticos mas independentes). Sabe-se que E X i   =   μ     e   v a r X i   = σ

Deseja-se estimar μ com o seguinte estimador: μb = (X1 + X2 + X3)/3.

A variância de μb é igual a:

Passo 1

Primeiro relembramos as propriedades da variância.

Seja Y     uma variável aleatória e a   ∈ R   então, a v a r a Y   =   a 2 v a r Y

Sejam Y 1 , … Y n   i i d (independentes e identicamentes distribuídas) então:

v a r ∑ i = 1 n Y i   =   ∑ i = 0 n v a r Y i  

Passo 2

Com isso já podemos calcular a variância de μb

V a r μ b   =   v a r X 1   +   X 2   +   X 3 3   =   1 9 v a r X 1   +   X 2   +   X 3

  =   1 9 v a r X 1   +   X 2   +   X 3   =   1 9 v a r X 1   +   1 9 v a r X 2   +   1 9 v a r X 3   =   3 σ 2 9   =   σ 2 3

Resposta

  σ 2 3

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