Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

04) Cada viagem que um cobrador profissional realiza até a casa do devedor custa 25 reais. Se encontrar o devedor em casa, evento que tem probabilidade de 1 / 4 , o cobrador consegue receber o valor devido; os eventos relacionados a diferentes viagens são independentes. Qual é o custo médio de cobrança de um devedor?

A) 150

B) 75

C) 4

D) 125

E) 100

Passo 1

Eaí gente!! Tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um cobrador muito insistente que fica indo na casa das pessoas pra cobrar dinheiro. Pense num emprego top!

A mecânica do trabalho (pra quem ficou interessado haha) funciona assim: Ele vai na casa da pessoa, se encontrar o devedor em casa a dívida é recolhida e tudo fica na paz. Isso ocorre com probabilidade de 1 / 4 . Se não encontrar, ele precisa voltar lá até conseguir recolher a dívida. A probabilidade dele não encontrar é de:

P f a l h a = 1 - 1 4   = 3 4

Beleza, a questão quer saber qual o custo médio de cobrança. Ou seja, em média, quanto que esse cobrador gasta por devedor até conseguir encontrar o fujão em casa e recolher a dívida?

Passo 2

Beleza, já sabemos o que a questão pede. Mas como é que a gente pode calcular custo médio usando os conceitos de probabilidade?

Em geral galera, quando a questão falar em média de algo, devemos lembrar logo da nossa esperança matemática (que também é chamada de média haha).

Então, se queremos calcular a média do custo, uma boa ideia é definir uma variável aleatória que represente esse custo e calcular a sua esperança matemática. Assim, podemos definir:

X → Custo de cobrança por devedor

Daí, como não há um limite teórico de viagens que o cobrador necessitará fazer para cobrar um devedor, X pode assumir infinitos valores discretos. Por exemplo, se o cobrador precisar ir na casa do devedor 10   vezes até encontra-lo presente e recolher a dívida, o custo será:

X = 25 ⋅ 10 = 250   R $

De forma geral, se o cobrador necessitar ir n vezes na casa da pessoa, o custo será:

X = 25 n

Beleza! Mas e qual a probabilidade dele precisar ir n vezes na casa do cidadão?

Então, é só pensar que se ele foi n vezes é porque em n - 1 vezes ele não encontrou a pessoa em casa (que ocorre com probabilidade de 3 / 4 ). E na n - é s i m a vez o cobrador encontra o devedor, o que ocorre com probabilidade 1 / 4 . Então:

P X = 25 n = 3 4 n - 1 ⋅ 1 4

Top!

Passo 3

Agora que já temos a nossa variável aleatória, sabemos como comportam-se os seus valores e as suas respectivas probabilidades, podemos montar a querida tabelinha pra nos ajudar no cálculo da esperança matemática (ou média) de X .

A esperança matemática deve ser calculada pela expressão:

μ X   = E X = ∑ x ⋅ P ( X = x )

Massa! Nosso trabalho então é somar toda a coluna da direita da tabelinha, só que até n tendendo a infinito...

Pois é! Mas vamos com calma, tudo na vida tem um jeito (eu espero haha).

E X =   25 ⋅ 1 4 +     50 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 +   75 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 2 + ⋯  

Passo 4

Beleza! Tava tudo indo bem né, mas como calculamos essa soma? Alguma ideia?

Todo mundo deve ter torcido pra isso ser a soma de uma PG infinita né? Mas não é exatamente isso. Antes de mostrar o truque, bora melhorar um pouco a expressão...

E X =   25 ⋅ 1 4 +     50 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 +   75 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 2 + ⋯

E X = 25 1 ⋅   1 4 +     2 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 +   3 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 2 + ⋯   = 25 ⋅ S

Parece piada, Mas isso daí mudou tudo! Essa soma S é o que chamamos de P.A.G.

Hahaha! Existe mesmo galera, é a nossa “Progressão Aritmética Geométrica”! Olha:

S =   1 ⋅   1 4 +     ( 1 + 1 ) ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 + ( 2 + 1 ) ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 2 + ⋯  

Percebem que em azul temos uma P.A de razão r = 1 e de preto temos uma PG de razão q = 3 / 4 ?

Então, essa é a característica da P.A.G. Tem uma PA e uma PG ao mesmo tempo. E como é que resolvemos isso?

Vou ensinar o truque pra vocês! A ideia é multiplicar em ambos os lados pela razão da PG q = 3 / 4 .

S ⋅ q =   1 ⋅   1 4 ⋅ 3 4 +     ( 1 + 1 ) ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 2 + ( 2 + 1 ) ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 3 + ⋯

Logo em seguida vamos fazer S - S q . Daí vem:

S - S q = 1 ⋅   1 4 + 2 - 1 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 + 3 - 2 ⋅   1 4 ⋅ 3 4 2 + ⋯

⇒ S 1 - q = 1 4 +   1 4 ⋅ 3 4 +   1 4 ⋅ 3 4 2 + ⋯

É isso galera, com esse truque a gente reduziu o problema de calcular a soma de uma P.A.G a calcular a soma de uma P.G. Nesse caso uma PG infinita. Relembrando a soma de uma PG infinita...

S P G = a 1 1 - q

Daí, sendo 1 / 4 o primeiro termo da PG e q = 3 / 4   a sua razão. Temos:

S 1 - 3 4 = 1 4 1 - 3 4 = 1

S = 4

Aeeeeee, conseguimos calcular aquela expressão tão feia! Agora é só correr pro abraço:

E X = 25 ⋅ S

E X = 25 ⋅ 4 = 100

Ufaa! Conseguimos gente! Bem legal essa questão né?

Espero que vocês tenham gostado, aguardo todo mundo na próxima hein!

Resposta

Letra E: 100

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