Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

12) Um dado possui a seguinte propriedade: os resultados 1 ,   2   e 3 são equiprováveis, e os resultados 4,5   e 6 também são equiprováveis; no entanto, a probabilidade de se obter um 5 é o dobro da de se obter um 1 . Se a variável aleatória X representa o resultado de um arremesso deste dado, o valor esperado de X é:

A) 3,5

B) 3

C) 4

D) 10

E) 7

Passo 1

Eaí gente, como vocês estão? Tudo tranquilo?

Nessa questão temos um probleminha envolvendo variável aleatória, valor esperado e alguns outros conceitos.

Basicamente, tem um dado com honestidade duvidável que dá resultados equiprováveis dentro de dois grupos de valores: { 1,2   e 3 } e { 4,5   e 6 }. O problema é que a probabilidade do segundo grupo sair é o dobro da probabilidade do primeiro. A questão pede o valor esperado do resultado de um arremesso do dado.

Beleza, já sacamos o contexto da questão. Mas, como poderíamos equacionar essas condições?

Então, primeiramente, já que o grupo 1 é equiprovável, podemos dizer que:

P 1 = P 2 = P 3 = k

Além disso, o segundo grupo também é equiprovável, logo vale:

P 4 = P 5 = P 6 = k '

Mas, como é falado que o segundo grupo tem o dobro de chance de sair, vale que:

k ' = 2 k

Prontinho, conseguimos transformar as condições do enunciado em equações matemáticas, e de quebra, deixamos todas as probabilidades em função de k . Olha que beleza 😊

Passo 2

Beleza, mas e a pergunta que não quer calar: Quem que é esse k ?

Então gente, sempre que precisamos descobrir algum parâmetro de proporcionalidade (igual esse k ) em probabilidade, uma boa ideia é usar que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis tem que valer 1 !

P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 = 1

Deixando tudo em função de k , vai ficar:

k + k + k + 2 k + 2 k + 2 k = 1

⇒ 9 k = 1

∴ k = 1 / 9

Massa! Agora já podemos calcular o valor esperado. Lembrando que X é a variável aleatória que representa o resultado de um arremesso do dado. Assim:

X = { 1,2 , 3 ,   4 ,   5 ,   6 }

A esperança matemática, ou valor esperado, é dada pela expressão:

E X = ∑ x ⋅ P ( X = x )

Substituindo os valores que já encontramos nessa expressão, teremos que:

E X = 1 ⋅ 1 9 + 2 ⋅ 1 9 + 3 ⋅ 1 9 + 4 ⋅ 2 9 + 5 ⋅ 2 9 + 6 ⋅ 2 9 =

1 9 1 + 2 + 3 + 2 9 4 + 5 + 6 = 6 9 + 30 9

Logo:

E X = 36 9 = 4

Aeee, conseguimos matar mais uma!

Espero que todos tenham entendido bem direitinho, até a próxima pessoal!!

Resposta

Letra C: 4

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