Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações referentes as variáveis aleatórias X   e   Y :

1. Se X   e   Y têm correlação negativa, então V X + Y > V X - Y .

2. Se V X = V Y , então as variáveis X + Y   e   X - Y não são correlacionadas.

3. Se V X = V Y e ρ X , Y   =   1 , então V X + Y = 4 V X .

São verdadeiras apenas:

Passo 1

Fala pessoal!! Tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Nessa questão precisamos verificar a veracidade de três afirmações.

Para isso vamos precisamos lembrar que

  • V X   ±   Y   =   V X   +   V Y   ± 2 C o v X , Y
  • C o v X , Y   =   E X Y   -   E X E Y

Então vamos nessa!!

Passo 2

Vamos verificar a primeira afirmação:

Se X   e   Y tem correlação negativa, então X   e   Y tem covariância negativa. Pois

ρ X , Y   =   C o v X , Y σ x σ y e σ x σ y   >   0 .

Logo,

V X   +   Y   =   V X   +   V Y   + 2 C o v X , Y

=   V X   +   V Y   - 2 C o v X , Y

e

V X   -   Y   =   V X   +   V Y   - 2 C o v X , Y

  =   V X   +   V Y   +   2 C o v X , Y

Sendo assim, se X   e   Y tem correlação negativa então V X + Y < V X - Y

Passo 3

Vamos verificar a segunda afirmação. Será que se V X   =   V Y   implica nas variáveis X + Y   e   X - Y serem não correlacionadas? Lembrando que duas variáveis são não correlacionadas se seua correlação for zero, ou seja, se sua covariância for zero.

C o v X + Y , X - Y   =   E X + Y X - Y   -   E X + Y X - Y

(abrindo o produto notável)

=   E X 2   -   Y 2   -   E X + Y E X - Y

(pela linearidade da esperança)

= E X 2 - E Y 2 - E X + E Y E X - E Y

(abrindo o produto notável)

= E X 2 - E Y 2 - E X 2 + E Y 2

= V X - V Y

(como X e Y tem a mesma variância por hipótese)

=   0  

Dessa forma, X + Y   e   X - Y são não correlacionadas se V X   =   V Y

Passo 4

Agora vamos verificar a última afirmação.

Queremos saber se V X + Y = 4 V X quando V X = V Y e ρ X , Y   =   1 . O que vocês acham? Vamos ver se é verdade?

Como falamos lá no passo 1, V X   +   Y   =   V X   +   V Y   + 2 C o v X , Y

Então

V X   +   Y   =   V X   +   V Y   + 2 C o v X , Y

(usando a definição de correlação)

=   V X   +   V Y   + 2 ρ X , Y σ x σ y

(substituindo os valores )

=   2 V X       +   2 V X

=   4 V X  

Resposta

b) e c)

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