Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

08) Um dado honesto é arremessado duas vezes, e define-se uma variável aleatória X que representa o número de arremessos em que o resultado é igual a “1”. A variância de X vale:

A) 1 / 36

B) 12 / 36

C) 14 / 36

D) 20 / 36

E) 10 / 36

Passo 1

Faaaaala galerinha, tudo tranquilo?

Nessa questão temos o nosso clássico e querido problema do dado e suas variações haha.

Aqui a brincadeira é arremessar um dado duas vezes, definir X como o número de arremessos iguais a 1 e calcular a variância de X . Mas vocês lembram como que calculamos variância?

A forma mais pura pela definição é calcular o seguinte somatório:

V a r X = ∑ x - μ X 2 ⋅ P ( X = x )

Onde μ X é o valor esperado de X .

Mas, existe uma forma bem menos trabalhosa, que podemos usar também:

V a r X = E X 2 - E X 2

O problema é que não temos nem μ X nem as probabilidades, muito menos E ( X 2 ) .

Então, bora por partes calculando esses termos.

Passo 2

Para começar, vamos determinar os possíveis valores de X . Em dois lançamentos, só tem três possibilidades para X .

X = { 0,1   ou 2 }

Como o dado é honesto, os resultados em um arremesso do dado são equiprováveis. Assim, a probabilidade de sair o número 1 em um arremesso é de P = 1 / 6 . Enquanto a probabilidade de não sair 1 é de 1 - P = 5 / 6 . Daí

Se X = 0 , é porque nos dois arremessos não saiu 1 . Logo:

P X = 0 = 5 6 ⋅ 5 6 = 25 36

Se X = 1 , é porque saiu 1 em apenas um arremesso. Como ele pode sair no primeiro, ou no segundo arremesso, devemos multiplicar por 2 . Logo:

P X = 1 = 2 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 = 10 36

Por fim, se X = 2 temos:

P X = 2 = 1 6 ⋅ 1 6 = 1 36

Muito bom! Podemos então montar a nossa tabelinha mágica já buscando calcular o valor esperado de X .

Lembrando que o valor esperado pode ser calculado por:

E X = ∑ x ⋅ P X = x

E X 2 = ∑ x 2 ⋅ P ( X = x )

Passo 3

Bom, agora que já montamos nossa tabela podemos calcular tanto E ( X 2 ) como E ( X ) . Assim:

E X = ∑ x ⋅ P ( X = x )

⇒ E X = 0 + 10 36 + 2 36 = 12 36

Já para E X 2 , temos:

E X 2 = 0 + 10 36 + 4 36 = 14 36

Beleza! Bora então aplicar a nossa fórmula menos trabalhosa pra V a r ( X ) e finalizar a questão 😊

V a r X = E X 2 - E X 2

⇒ V a r X = 14 36 - 12 36 2

∴ V a r X = 14 ⋅ 36 - 12 2 36 2 = 10 36

Prontinho pessoal! Espero que todo mundo tenha entendido bem, até a próxima 😉

Resposta

Letra E: 10 / 36

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