Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

07) Uma variável aleatória contínua X possui a seguinte função densidade de probabilidade:

f x = 1 τ e - x τ , x ≥ 0

Para τ > 0 . O valor esperado de X é:

A) τ

B) 1 / τ 2  

C) τ 2

D) 0

E) 1 / τ

Passo 1

Faaala galerinha, como vocês estão? Todo mundo bem?

Nessa questão temos um problema bem direto, sem muita enrolação, envolvendo uma variável aleatória contínua X . No caso, é dada a função densidade de probabilidade de X e é pedido o seu valor esperado E ( X ) .

Beleza, mas como podemos calcular o valor esperado de uma variável aleatória contínua?

Bom, basta a gente usar uma fórmula bem importante de ter guardada no coração (do lado do espaço da morena(o) haha):

E X = ∫ x ⋅ f x d x

Passo 2

Certo, agora que já sabemos como calcular, vamos às continhas:

E X =   ∫ 0 + ∞ x ⋅ 1 τ e - x τ d x

Essa integral é meio chata porque um dos limites de integração é + ∞ . Por isso, vamos calcular primeiro a integral indefinida e depois usar os limites de integração. Ou seja, vamos calcular:

E X = ∫ x ⋅ 1 τ e - x τ d x

Uma boa ideia é usar o método de integração por partes. Ele fala que:

∫ U d V = U V - ∫ V d U

Assim, chamando x = U e d V = 1 τ e - x τ   , teremos que:

∫ x ⋅ 1 τ e - x τ d x =   - x ⋅ e - x τ + ∫ e - x τ d x =

- x ⋅ e - x τ - τ ⋅ e - x τ = - x + τ ⋅ e - x / τ

Voltando para nossa integral definida, vamos ter que:

∫ 0 + ∞ x ⋅ 1 τ e - x τ d x = lim x → + ∞ ⁡ - x + τ ⋅ e - x τ   - - 0 + τ ⋅ e - 0 τ

Vish, tá ficando feio!

Passo 3

Então, depois de todas essas contas, nosso problema se resumiu a:

E X =   lim x → + ∞ ⁡ - x + τ ⋅ e - x τ   - - 0 + τ ⋅ e - 0 τ  

⇒ E X = lim x → + ∞ ⁡ - x + τ ⋅ e - x τ + τ  

Precisamos calcular esse limite!

lim x → + ∞ ⁡ - x + τ ⋅ e - x τ =   lim x → + ∞ ⁡ - x + τ e x τ

Quando x →   + ∞ , tanto o numerador como o denominador tendem para o infinito. Assim, podemos usar o teorema de L’hopital. Logo:

lim x → + ∞ ⁡ - x + τ e x τ = lim x → + ∞ ⁡ - 1 1 τ ⋅ e x τ =

lim x → + ∞ ⁡ - τ e x τ =   0

Portanto, temos que:

lim x → + ∞ ⁡ - x + τ ⋅ e - x τ = 0

Voltando para o nosso valor esperado de X , teremos:

E X = 0 + τ = τ

Aeee, conseguimos! Essa aqui pesou no cálculo hein galera?!

Mas que bom que terminamos, espero vocês na próxima! Até lá 😉

Resposta

Letra A: τ

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