Exercícios Resolvidos de Função de uma Variável Aleatória Discreta

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P4 - 2013.2, Questão 1b)

Mostre que se X e Y são v.a. estatisticamente independentes, então V X + Y = V X + V ( Y ) .

Passo 1

Primeira coisa a pensar é que:

V X + Y = E X + Y 2 - E ² ( X + Y )

E que se as variáveis são independentes, então:

E X + Y = E X + E ( Y )

Agora substituímos isso lá:

V X + Y = E X 2 + 2 X Y + Y 2 - E X + E Y 2

= E X 2 + 2 E X Y + E Y 2 - E 2 X - 2 E X E ( Y ) - E 2 Y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Novamente, se são independentes, também podemos dizer que:

E X Y = E X E ( Y )

Com isso, a gente consegue cortar aqueles dois termos ali em cima, ficaria então somente:

V X + Y = E X 2 - E 2 X + E Y 2 - E 2 Y

Que é a mesma coisa que:

V X + Y = V X + V ( Y )

Como queríamos demonstrar.

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