Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

Ver Teoria

Enunciado

  1. Prove V a r a X + b = a ² . V a r ( X ) .

Passo 1

Vamos lá que isso aqui é demonstração chata...

V a r X = E X 2 - E X 2

Vamos partir daí.

V a r a X + b = E a X + b 2 - E a X + b 2

= E a X 2 + 2 a b X + b 2 - E a X + b 2

Distribuindo a esperança ali do lado direito...

= E a X 2 + 2 a b X + b 2 - E a X + E b 2

= E a X 2 + 2 a b X + b 2 - E 2 a X + 2 E a X E b + E 2 b

= E a X 2 + E 2 a b X + E b 2 - E 2 a X - E 2 a b X - E 2 b

A gente sabe que esperança de uma constante é igual a zero... então E ( b ) ² e E ² ( b ) são cancelados.... assim como o E ( 2 a b X ) também se cancelam. Sobra só:

= E a X 2 - E ² ( a X )

Passo 2

A gente não viu que:

V a r X = E X 2 - E X 2

Então:

E a X 2 - E 2 a X = a 2 . V a r ( X )

Pronto, provamos o que queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja X o dano (em valor monetário) incorrido por um determinado tipo de acidente em um ano. Os valores possíveis de X são 0, 1000, 5000 e 10000, com probabilidades 0,8, 0,1, 0,08 e 0,02 respectivament
Uma empresa de fornecimento de materiais químicos atualmente possui em seu estoque 100 libras de um determinado produto, vendido aos clientes em lotes de 5 libras. Seja X = número de lotes pedidos por
Um indivíduo que possui um seguro de automóvel de uma determinada empresa é selecionado aleatoriamente. Seja Y o número de infrações ao código de trânsito para as quais o indivíduo foi reincidente nos
Suponha que o número de certo tipo de planta encontrada em uma região retangular (denominada quadrat pelos ecologistas) em uma determinada área geográfica seja uma va X com fmp
Seja X resultado de um dado lançado uma vez. Se antes de lançar o dado, oferecessem a você (1/3,5) dólares ou h(X) 1/X dólares, você aceitaria a quantia garantida ou faria a aposta? [Nota: Normalmente