Exercícios Resolvidos de Função de uma Variável Aleatória Discreta

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,140-17

O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade

a) Calcule o tempo médio de processamento.

Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $1,00.

b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.

Passo 1

a) Tempo médio de processamento

Quando ele fala de tempo médio Está falando da média!

E T = 2 × 0,1 + 3 × 0,1 + 4 × 0,3 + 5 × 0,2 + 6 × 0,2 + 7 × 0,1 = 4,6

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Passo 2

b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.

Vamos analisar quem é a v.a. G

O quanto cada operário ganha é:

G = $ = 2,00 + 0,5 ( 6 - t )

Ou seja, são $2,00 fixos + $0,50 por minuto poupado.

Passo 3

Vamos substituir os t possíveis nesta equação para saber os valores possíveis de G:

- t = 2

G ( t = 2 ) = 2 + 0,5 . 6 - 2 = 2 + 0,5 × 4 = 4

- t = 3

G t = 3 = 2 + 0,5 6 - 3 = 2 + 0,5 × 3 = 3,5

- t = 4

G t = 4 = 2 + 0,5 6 - 4 = 2 + 0,5 × 2 = 3

- t = 5

G t = 5 = 2 + 0,5 6 - 5 = 2 + 0,5 × 1 = 2,5

- t = 6

G t = 6 = 2 + 0,5 6 - 6 = 2,0

Passo 4

Montando uma tabela de distribuição de G:

Passo 5

Calculando o que se pede:

E G = 2 × 0,3 + 2,5 × 0,2 + 3,0 × 0,3 + 3,5 × 0,1 + 4,0 × 0,1 = 2,75

V a r G = E G 2 - E G 2

E G 2 = 4 × 0,3 + 6,25 × 0,2 + 9 × 0,3 + 12,25 × 0,1 + 16 × 0,1 = 7,975

V a r G = 7,975 - 2,75 2 = 0,4125

Resposta

a) 4,6

b)E(G)=2,75 e Var(G)=0,4125

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