Exercícios Resolvidos de Função de uma Variável Aleatória Discreta

UERJ-lista 1 prof Fabiano-18(b)

Uma transportadora de cargas possui quatro caminhões de aluguel. O aluguel é realizado por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados por dia ( x ) é dada por:

Sabendo que o aluguel por dia é da ordem de U S $   300 e que a despesa total diária com a manutenção de cada veículo é igual a U S $   140 quando este é alugado e de U S $   15 , quando tal fato não ocorre, encontre:

  1. O número médio diário de caminhões alugados e o desvio padrão.
  2. A média e o desvio padrão do lucro diário

Passo 1

(a)

Se a gente chamar de X a v.a. que representa o número de caminhões alugados por dia. A gente já tem a tabela com os valores possíveis para X (0,1,2,3,4) e suas respectivas probabilidades.

Pra calcular o número médio de caminhões alugados é só calcular:

E X =   ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

E X = 0 × 0,1 + 1 × 0,2 + 2 × 0,3 + 3 × 0,3 + 4 × 0,1

E X = 2,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra calcular a variância usamos a fórmula:

s ² x = ∑ i = 1 n x i 2 . p x i - E X 2

s ² x = 0 2 × 0,1 + 1 2 × 0,2 + 2 2 × 0,3 + 3 2 × 0,3 + 4 2 × 0,1 - 2,1 2

s ² x = 1,29

Aí agora podemos calcular o desvio padrão que é a raiz quadrada da variância:

s x = 1,29 ≅ 1,14

Passo 3

(b)

Bom, nós sabemos que a definição de lucro é:

L u c r o = F a t u r a m e n t o - D e s p e s a s   t o t a i s

Nosso faturamento vai ser o aluguel das caminhonetes. Como o aluguel de cada uma custa U S $   300 :

F a t u r a m e n t o = 300 X

Onde X continua representando o número de caminhonetes alugadas por dia.

E nossas despesas totais? O enunciado diz que cada caminhonete alugada traz U S $   140 de despesas, ou seja:

D e s p e s a   d a s   a l u g a d a s = 140 X

E quando uma caminhonete não é alugada, a despesa que ela traz é de U S $   15 . Mas quantas caminhonetes não vão ser alugadas? O total de caminhonetes menos a quantidade que for alugada, certo? Ou seja, ( 4 - X ). Então temos que:

D e s p e s a   d a s   n ã o   a l u g a d a s = 15 ( 4 - X )

E as despesas totais serão a soma dessas duas aí:

D e s p e s a s   t o t a i s = 140 X + 15 ( 4 - X )

Passo 4

Nossa equação do lucro, substituindo tudo que achamos, fica assim então:

L u c r o = 300 X - 140 X + 15 4 - X = 160 X + 15 X - 60

L u c r o = 175 X - 60

Show! Agora podemos calcular o que foi pedido. Para a média do lucro, podemos “aplicar” a esperança dos dois lados da equação:

E L u c r o = E ( 175 X - 60 )

Fazendo a distribuiva...

E L u c r o = E 175 X - E ( 60 )

A constante que está multiplicando o X pode sair dos parênteses multiplicando a esperança, e a esperança de uma constante vale a própria constante, então...

E L u c r o = E 175 X - E 60 = 175 E X - 60

Mas já vimos na letra a) que E X = 2,1 , substituindo:

E L u c r o = 175 × 2,1 - 60 = 307,5

Essa aí então é a média do nosso lucro diário.

Passo 5

Para o desvio padrão, vamos seguir o mesmo raciocínio. Tirando a variância dos dois lados da equação do lucro:

L u c r o = 175 X - 60

V a r L u c r o = V a r ( 175 X - 60 )

Distributiva...

V a r L u c r o = V a r 175 X - V a r ( 60 )

A constante multiplicando o X sai da variância ao quadrado, e a variância de uma constante é igual a zero, então...

V a r L u c r o = V a r 175 X - V a r 60 = 175 2 V a r X - 0

V a r L u c r o = 175 ² V a r ( X )

Mas lá na letra a) vimos que a variância de X é 1,29 . Substituindo:

V a r L u c r o = 175 ² × 1,29 = 39506,25

Mas nós queremos o desvio padrão do lucro diário, então tira a raiz disso aí:

D P L u c r o = 39506,25 ≅ 198,76

Resposta

a   E X = 2,1   c a m i n h õ e s     ,     D P ( X ) ≅ 1,14   c a m i n h õ e s

b   E L u c r o = 307,5     ,     D P ( L u c r o ) ≅ 198,76

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas