Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

15. Aproximando log ⁡ 2 = 0,3 , a única solução da equação 2 12 x + 4 = 5 2 x + 6

  1. 7 3
  2. 3 7
  3. 15 11
  4. 11 15
  5. 1 5

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma relação de funções exponenciais e temos algumas informações logarítmicas e precisamos achar o conjunto de soluções da inequação.

Para isso, vamos ter que lembrar de algumas propriedades de log:

- log a ⁡ b = c → a c = b

- a log a ⁡ b = b

- log ⁡ a . b = log ⁡ a + log ⁡ b

- log ⁡ a b = log ⁡ a - log ⁡ b

Agora bora aplicar!

Passo 2

Na nossa inequação compara potencias de bases diferentes,

2 12 x + 4 = 5 2 x + 6

Transformando tudo para log ⁡

log ⁡ 2 12 x + 4 = log ⁡ 5 2 x + 6

Aplicando propriedade de logaritmo ficamos

12 x + 4 log ⁡ 2 = 2 x + 6 log ⁡ 5

Temos um log ⁡ 5 complicando a nossa vida. Então vamos nos livrar dele!

Passo 3

Mas repara que

5 = 10 2

Logo,

log ⁡ 5 = log ⁡ 10 2 = log ⁡ 10 - log ⁡ 2

Como log ⁡ 10 = 1

log ⁡ 5 = 1 - log ⁡ 2

Passo 4

Voltando para a nossa equação, tínhamos que

12 x + 4 log ⁡ 2 = 2 x + 6 log ⁡ 5

Substituindo log ⁡ 5

12 x + 4 log ⁡ 2 = 2 x + 6 1 - log ⁡ 2

Como log ⁡ 2 = 0,3

12 x + 4 0,3 = 2 x + 6 1 - 0,3

12 x + 4 0,3 = 2 x + 6 0,7

12 x + 4 3 10 = 2 x + 6 7 10

Cortando 10 ,

3 12 x + 4 = 7 2 x + 6

Ou seja,

36 x + 12 = 14 x + 42

36 x - 14 x = 42 - 12

22 x = 30

x = 30 22 = 15 11

Resposta

c

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