Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Utilize as propriedades dos logaritmos para combinar as expressões abaixo.

a ) log 3 ⁡ 5 + 5 log 3 ⁡ 2 .

b ) log ⁡ 12 + 1 2 log ⁡ 7 - log ⁡ 2 .

c ) log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B - 2 log 2 ⁡ C .

d ) log 5 ⁡ ( x 2 - 1 ) - log 5 ⁡ ( x - 1 ) .

e ) 4 log ⁡ x - 1 3 log ⁡ x 2 + 1 + 2 log ⁡ x - 1 .

f ) ln ⁡ a + b + ln ⁡ ( a - b ) - 2 ln ⁡ c .

Passo 1

Oii oi oi, tudo na paz por aí?

Nessa questão iremos basicamente treinar as nossas propriedades dos logaritmos. A ideia é juntarmos as expressões dadas, simplificando-as. Por isso é bem importante ter as principais propriedades bem na ponta da língua. Vamo dar uma revisada:

1 ) log a ⁡ b c = c ⋅ log a ⁡ b

2 ) log a ⁡ M ⋅ N = log a ⁡ M + log a ⁡ N

3 ) log a ⁡ M N = log a ⁡ M - log a ⁡ N

Então tá, agora que revisamos vamos meter bala nesses itens!

Passo 2

Bom, começando pelo item a ) , temos:

log 3 ⁡ 5 + 5 log 3 ⁡ 2

Podemos usar a propriedade 1 ) e fazer:

5 log 3 ⁡ 2 = log 3 ⁡ 2 5

= log 3 ⁡ 32

Logo:

log 3 ⁡ 5 + 5 log 3 ⁡ 2 =   log 3 ⁡ 5 + log 3 ⁡ 32

Agora podemos usar a propriedade 2 ) para juntar esses l o g s .

log 3 ⁡ 5 + log 3 ⁡ 32 = log 3 ⁡ 5 ⋅ 32

= log 3 ⁡ 160

Prontinho, reduzimos bem né? ����

Passo 3

No item b ) , temos:

log ⁡ 12 + 1 2 log ⁡ 7 - log ⁡ 2

Podemos começar usando a propriedade 1 ) no segundo termo. Daí:

1 2 log ⁡ 7 = log ⁡ 7 1 2  

Substituindo de volta na nossa expressão, temos:

log ⁡ 12 + 1 2 log ⁡ 7 - log ⁡ 2 = log ⁡ 12 + log ⁡ 7 1 2 - log ⁡ 2

Usando 2 ) nos primeiros termos, vem:

log ⁡ 12 + 1 2 log ⁡ 7 - log ⁡ 2 = log ⁡ 12 ⋅ 7 1 2 - log ⁡ 2

Daí podemos usar 3 ) , e ficamos com:

log ⁡ 12 + 1 2 log ⁡ 7 - log ⁡ 2 = log ⁡ 12 ⋅ 7 1 2 2

= log ⁡ 6 ⋅ 7 1 2

Muito bom!

Passo 4

No item c ) , temos:

log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B - 2 log 2 ⁡ C

Novamente, podemos começar aplicando a propriedade 1 ) no último termo. Daí, temos:

2 log 2 ⁡ C = log 2 ⁡ C 2

Assim:

log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B - 2 log 2 ⁡ C =   log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B - log 2 ⁡ C 2

Usando a propriedade da soma, 2 ) , nos dois primeiros termos, temos:

log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B = log 2 ⁡ A B

Voltando para a expressão principal:

log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B - 2 log 2 ⁡ C = log 2 ⁡ A B - log 2 ⁡ C 2

Usando agora a propriedade 3 ) pra finalizar, ficamos com:

log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B - 2 log 2 ⁡ C = log 2 ⁡ A B C 2

Passo 5

No item d ) , vamos ter:

log 5 ⁡ ( x 2 - 1 ) - log 5 ⁡ ( x - 1 )

Podemos começar atacando através da propriedade 3 ) , daí temos:

log 5 ⁡ x 2 - 1 - log 5 ⁡ x - 1 = log 5 ⁡ x 2 - 1 x - 1

Aí, se lembrarmos da nossa fatoração da diferença de quadrado vamos ter que:

x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 )

Substituindo no logaritmo:

log 5 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = log 5 ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) x - 1

Logo:

log 5 ⁡ ( x 2 - 1 ) - log 5 ⁡ x - 1 =   log 5 ⁡ ( x + 1 )

Excelente!

Passo 6

No item e ) , vamos ter:

4 log ⁡ x - 1 3 log ⁡ x 2 + 1 + 2 log ⁡ x - 1

Podemos aplicar a propriedade 1 ) em cada um dos termos. Assim:

4 log ⁡ x = log ⁡ x 4 - 1 3 log ⁡ x 2 + 1 = log ⁡ x 2 + 1 - 1 3 2 log ⁡ ( x - 1 ) = log ⁡ x - 1 2

Assim, juntando tudo novamente na nossa expressão, temos:

4 log ⁡ x - 1 3 log ⁡ x 2 + 1 + 2 log ⁡ x - 1 = log ⁡ x 4 + log ⁡ x 2 + 1 - 1 3 + log ⁡ x - 1 2

Usando a propriedade 2 ) , podemos juntar todos esses termos em um mesmo l o g . Vamos ficar com:

4 log ⁡ x - 1 3 log ⁡ x 2 + 1 + 2 log ⁡ x - 1 = log ⁡ x 4 x 2 + 1 - 1 3 x - 1 2

Organizando um pouco, vamos ter:

4 log ⁡ x - 1 3 log ⁡ x 2 + 1 + 2 log ⁡ x - 1 = log ⁡ x 4 x - 1 2 x 2 + 1 1 3

Aí sim! Tamo indo bem.

Passo 7

Pra finalizar, no item f ) temos:

ln ⁡ a + b + ln ⁡ ( a - b ) - 2 ln ⁡ c

Podemos usar a propriedade 1 ) no último termo, assim:

- 2 ln ⁡ c = ln ⁡ c - 2

Ficamos com:

ln ⁡ a + b + ln ⁡ ( a - b ) - 2 ln ⁡ c = ln ⁡ a + b + ln ⁡ a - b + ln ⁡ c - 2

Daí, usando a propriedade 2 ) , podemos juntar todos esses termos em um mesmo logaritmo:

ln ⁡ a + b + ln ⁡ a - b - 2 ln ⁡ c = ln ⁡ a + b a - b c - 2

Organizando um pouquinho:

ln ⁡ a + b + ln ⁡ ( a - b ) - 2 ln ⁡ c = ln ⁡ a + b a - b c 2

Prontinho!!!

Com isso matamos essa questão!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

a ) log 3 ⁡ 160  

b )   log ⁡ 6 ⋅ 7 1 2

c )   log 2 ⁡ A B C 2

d )   log 5 ⁡ ( x + 1 )

e )   log ⁡ x 4 x - 1 2 x 2 + 1 1 3

f ) ln ⁡ a + b a - b c 2  

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