Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

11. O valor das expressão log 0,125 ⁡ 2 5 + log 0,1 ⁡ 0,001 + log 3 ⁡ 27 5 é:

  1. 53 15
  2. - 17 15
  3. 11 3
  4. - 7 3
  5. 37 15

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos achar o valor dessa expressão cheia de logaritmos.

log 0,125 ⁡ 2 5 + log 0,1 ⁡ 0,001 + log 3 ⁡ 27 5 = ?

Para isso, vamos ter que aplicar nossos conhecimentos sobre as propriedades logarítmicas. Então vamos resolver cada parte dessa soma em separado, aplicando a propriedade mais adequada, e depois juntar os resultados.

Bora lá!

Passo 2

Começando por,

log 0,125 ⁡ 2 5

Vamos começar mexendo nessa base decimal 0,125 e transformando em um número melhor de se trabalhar. Repara que podemos escrever assim,

0,125 = 125 1000 = 5 10 3

Com isso, podemos reescrever a nossa função assim,

log 5 10 3 ⁡ 2 5

Parece que piorou, mas agora podemos aplicar a seguinte propriedade de logaritmo,

log a x ⁡ b = 1 x log a ⁡ b

Logo,

log 0,125 ⁡ 2 5 = log 5 10 3 ⁡ 2 5 = 1 3 log 5 10 ⁡ 2 5

Mas podemos melhorar mais a nossa base, para que ela tenha alguma relação com o nosso argumento para aplicarmos alguma propriedade. Note que

5 10 = 1 2

Logo,

log 0,125 ⁡ 2 5 = 1 3 log 5 10 ⁡ 2 5 = 1 3 log 1 2 ⁡ 2 5

Opaaa, repara agora que podemos escrever o nosso argumento da seguinte forma,

2 5 = 1 2 - 1 1 / 5 = 1 2 - 1 / 5

Reescrevendo,

log 0,125 ⁡ 2 5 = 1 3 log 1 2 ⁡ 2 5 = 1 3 log 1 2 ⁡ 1 2 - 1 / 5

Agora podemos aplicar a seguinte propriedade,

a log ⁡ b = log ⁡ b a

Aplicando, ficamos com

log 0,125 ⁡ 2 5 = 1 3 log 1 2 ⁡ 1 2 - 1 / 5 = - 1 15 log 1 2 ⁡ 1 2

Resolvendo,

log 0,125 ⁡ 2 5 = - 1 15 log 1 2 ⁡ 1 2 = - 1 15

Passo 3

Para resolver a parte

log 0,1 ⁡ 0,001

Galerinha, repara que podemos escrever o nosso argumento dessa forma,

0,001 = 0,1 3

Reescrevendo, ficamos com

log 0,1 ⁡ 0,001 = log 0,1 ⁡ 0,1 3

Agora podemos aplicar a seguinte propriedade,

a log ⁡ b = log ⁡ b a

Aplicando, ficamos com

log 0,1 ⁡ 0,001 = log 0,1 ⁡ 0,1 3 = 3 log 0,1 ⁡ 0,1

Resolvendo,

log 0,1 ⁡ 0,001 = 3 log 0,1 ⁡ 0,1 = 3

Passo 4

Por fim, temos a parte

log 3 ⁡ 27 5

Vamos começar fatorando o nosso 27 e escrevendo ele assim

27 = 3 3

Reescrevendo, ficamos com

log 3 ⁡ 27 5 = log 3 ⁡ 3 3 5 = log 3 ⁡ 3 3 5

Agora podemos aplicar a seguinte propriedade,

a log ⁡ b = log ⁡ b a

Aplicando, ficamos com

log 3 ⁡ 27 5 = log 3 ⁡ 3 3 5 = 3 5 log 3 ⁡ 3

Resolvendo,

log 3 ⁡ 27 5 = 3 5 log 3 ⁡ 3 = 3 5

Passo 5

Agora que já achamos quanto vale cada parte, podemos fazer o somatório:

log 0,125 ⁡ 2 5 + log 0,1 ⁡ 0,001 + log 3 ⁡ 27 5 = - 1 15 + 3 + 3 5

Logo,

log 0,125 ⁡ 2 5 + log 0,1 ⁡ 0,001 + log 3 ⁡ 27 5 = 53 15

Prontinho!

Resposta

a

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