Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Utilize a definição do logaritmo para determinar x .

a ) log 2 ⁡ x = 5 .

b ) log 2 ⁡ 16 = x .

c ) log 5 ⁡ x = - 1 .

d ) log ⁡ 0,1 = x .

e ) log 3 ⁡ x = 3 5 .

f ) log ⁡ x = - 2 3 .

g ) ln ⁡ x = 3 .

h ) log x ⁡ 16 = 4 .

i ) log x ⁡ 6 = 1 2 .

j ) log x ⁡ 25 = 2 .

k ) log x ⁡ 3 = 1 3 .

l ) log x ⁡ 3 = - 1 3 .

Passo 1

E aí pessoal, como vocês estão?

Nessa questão temos várias expressões logarítmicas que envolvem uma variável x de diferentes formas. O nosso objetivo é conseguir determinar x em cada uma delas.

Para isso, é importante conhecermos tanto a definição de logaritmo:

log a ⁡ b = c

⇒ a c = b

Como também algumas propriedaedes:

1 ) log a ⁡ a = 1

2 ) log a ⁡ 1 = 0

3 ) log a ⁡ b c = c ⋅ log a ⁡ b

Massa! Vamos então atacar o nosso probleminha usando essas ideias 😊

Passo 2

Começando pelo item a ) , temos:

log 2 ⁡ x = 5

Usando a definição de l o g , temos:

x = 2 5

∴ x = 32

Pelo item b ) :

log 2 ⁡ 16 = x

Usando que:

16 = 2 4

Temos:

log 2 ⁡ 16 = log 2 ⁡ 2 4

Por 3 ) e 1 ) :

log 2 ⁡ 16 = 4 = x

Ou seja:

x = 4

No item c ) :

log 5 ⁡ x = - 1

Usando a definição de logaritmo, vamos ter:

5 - 1 = x

∴ x = 0,2

É isso aí! Tudo tranquilo até aqui?

Passo 3

No item d ) , vamos ter:

log ⁡ 0,1 = x

Como a base desse logaritmo é 10 , e também podemos escrever:

0,1 = 1 10 = 10 - 1

Temos:

x = log ⁡ 0,1 = log ⁡ 10 - 1

∴ x =   - 1

No item e ) :

log 3 ⁡ x = 3 5

Usando a definição de logaritmo:

x = 3 3 5

∴ x = 27 5

No item f ) :

log ⁡ x = - 2 3

Usando a definição de l o g e lembrando que sua base é 10 , temos:

x = 10 - 2 3

Muito bom!

Passo 4

No item g ) ,   temos:

ln ⁡ x = 3

Usando novamente a definição, e se ligando que a base do l n é e , temos:

x = e 3

No item h ) , temos:

log x ⁡ 16 = 4

Usando a definição de l o g , temos:

x 4 = 16

Fatorando 16 , vem:

16 = 2 4

⇒ x 4 = 2 4

Assim, concluímos que:

x = 2

No item i ) , temos:

log x ⁡ 6 = 1 2

Usando a definição:

x 1 2 = 6

Elevando ao quadrado dos dois lados, vem:

x = 36

Passo 5

No item j ) , temos:

log x ⁡ 25 = 2

Usando a definição:

x 2 = 25

Fatorando 25 , temos:

25 = 5 2 = x 2

Logo:

x = 5

No item k ) , vem:

log x ⁡ 3 = 1 3

Novamente usando a definição (já viram que o bizu é a definição né pessoal?)

x 1 3 = 3

Elevando ao cubo em ambos os lados:

x = 3 3

∴ x = 27

Por fim, no item l :

log x ⁡ 3 = - 1 3

Pela definição:

x - 1 / 3 = 3

Elevando a - 3 :

x = 3 - 3

∴ x = 1 27

Ufaaa! Finalmente terminamos.

Muito obrigado pela atenção pessoal 😊

Resposta

a )   32

b )   4

c )   0,2

d )   1

e )   27 5

f )   10 - 2 / 3

g )   e 3

h )   2

i )   36

j )   5

k )   27

l )   1 / 27

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