Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

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Enunciado

15. Se 0 < x < π e

log 3 ⁡ 1 - cos ⁡ x + log 3 ⁡ ( 1 + cos ⁡ x ) = - 2

Então sin ⁡ x é igual a

  1. 1 9
  2. 1 3
  3. 2 2 3
  4. 4 5 9
  5. 2 9

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu a seguinte equação,

log 3 ⁡ 1 - cos ⁡ x + log 3 ⁡ ( 1 + cos ⁡ x ) = - 2

E que saber quanto vale o sin ⁡ x . Mas repara que as nossas funções trigonométricas estão dentro da função logarítmica. Então vamos ter que usar algumas propriedades de log para conseguir resolver essa questão.

Passo 2

Aqui vamos ter que usar a seguinte propriedade logarítmica,

a log a ⁡ b = b

Mas para isso, vamos ter que colocar tudo como expoente de a = 3 . Fica assim,

3 log 3 ⁡ 1 - cos ⁡ x + 3 log 3 ⁡ ( 1 + cos ⁡ x ) = 3 - 2

Aplicando a propriedade de log,

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 3 - 2

Agora vamos usar os nossos conhecimentos de trigonometria!

Passo 3

Aplicando a distributiva na multiplicação, ficamos com

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 3 - 2

1 2 - cos ⁡ x + cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x = 3 - 2

1 - cos 2 ⁡ x = 3 - 2

Agora vamos aplicar a seguinte identidade trigonométrica,

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Logo,

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Ou seja,

sin 2 ⁡ x = 3 - 2

sin 2 ⁡ x = 1 3 2

sin ⁡ x = 1 3 2 = 1 3

Prontinho!

Resposta

b

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f ( x ) = s e n ( 1 x ) Qual o domínio e a imagem de f ? f é uma função periódica? Justifique sua resposta.
Esboce o gráfico.y = x sen (1)/(x)
Determine o domínio e esboce o gráfico.f (x) = cosec x
Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))
Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .39. cos ⁡ ( π + x )