Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

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Enunciado

20. Sejam a e b números reais positivos. Na figura abaixo, a linha pontilhada representa o gráfico da função f x = 4 sin ⁡ x e a linha contínua representa o gráfico da função g x = 4 a sin ⁡ b x .

Pode-se afirmar que

  1. 0 < a < 1 e b > 1
  2. a > 1 e 0 < b < 1
  3. 0 < a < 1 e 0 < b < 1
  4. a = 1 e b > 1
  5. 0 < a < 1 e b = 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos o gráfico de duas funções, onde nelas temos duas constantes a e b , e baseado no gráfico temos que estimar quanto vale cada constante.

Para fazer isso, vamos olhar as coincidenias entre as funções: ambas são uma função seno. Para quem não lembra a função seno tem essa cara:

Repara que ela atinge valores máximos e mínimos em n π 2 , onde n é um número inteiro impar. Variando entre - 1 e + 1 . Além disso, a função é igual a zero em x = 0 e x = m π , onde m é qualquer número inteiro.

Então vamos olhar para esses pontos de máximo e mínimo para estimar os valores de a e b .

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar descobrindo qual intervalo que a está contido. Para isso, vamos olhar para a função f x , que está pontilhada no gráfico. Repara que o máximo dela será y = 4 . Uma vez que a função seno tem valor máximo em + 1 e a nossa f x tem um 4 multiplicando a função seno. Ou seja,

f π 2 = 4 sin ⁡ π 2 = 4 1 = 4

Agora vamos comparar o máximo da nossa f x com o máximo da nossa g x . Repara que o máximo da nossa g x , em vermelho, é menor que o da nossa f x , em azul.

Ou seja, quando o seno,

sin ⁡ b x = sin ⁡ π 2 = 1

Temos que

g x = 4 a 1 = 4 a

E como no ponto máximo

f x > g x

4 > 4 a

Logo a é uma valor fracionario,

0 < a < 1

Agora vamos descobrir quem é b !

Passo 3

Repara que o máximos de f x e g x não coincidem em x !

Ou seja, b não é um número inteiro, logo

0 < b < 1

Prontinho!

Resposta

c

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f ( x ) = s e n ( 1 x ) Qual o domínio e a imagem de f ? f é uma função periódica? Justifique sua resposta.
Esboce o gráfico.y = x sen (1)/(x)
Determine o domínio e esboce o gráfico.f (x) = cosec x
Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))
Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .39. cos ⁡ ( π + x )