Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

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Enunciado

19. Sejam A , B e C os vértices de um triângulo retângulo com ângulo reto em C e sejam a e b as medidas dos catetos B C e A C , respectivamente. Se M é o ponto médio do cateto B C , então a tangente do ângulo M A B é igual a

  1. 2 a 2 + b 2 a 2 + 4 b 2
  2. a a 2 + 4 b 2
  3. a 2 b
  4. a b 2 b 2 + a 2
  5. a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 + b

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos descreve um triângulo retângulo e pede para calcularmos a tangente de um ângulo.

Pela descrição do enunciado, temos o seguinte triângulo,

Ou seja, ele quer saber, quem é tan ⁡ θ .

Passo 2

Vamos começar pela definição de tangente que é

tan ⁡ x = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a n c e n t e

Deste modo, a tangente do ângulo C A B será,

tan ⁡ C A B = a b

Já a tangente do ângulo C A M será

tan ⁡ C A M = a 2 b = a 2 b

Mas o problema quer saber θ , que é o nosso ângulo M A B , que é

θ = C A B - C A M

Se queremos achar a tangente θ , podemos fazer

tan ⁡ θ = tan ⁡ ( C A B - C A M )  

Agora vamos calcular isso aí!

Passo 3

Para quem não lembra, quando precisamos calcular a tangente de uma subtração de ângulos, nós temos essa fórmulinha aqui

tan ⁡ ( a - b ) = tan ⁡ a - tan ⁡ b 1 + tan ⁡ a tan ⁡ b

Ou seja,

tan ⁡ θ = tan ⁡ C A B - tan ⁡ C A M 1 + tan ⁡ C A B tan ⁡ C A M

No passo anterior, vimos quanto valia tan ⁡ C A B e tan ⁡ C A M . Substituindo,

tan ⁡ θ = a b - a 2 b 1 + a b a 2 b

Ajeitando,

tan ⁡ θ = a 2 - a 2 b 2 b 2 + a 2 2 b 2 = a 2 b 2 b 2 2 b 2 + a 2 = a b 2 b 2 + a 2

Prontinho!

Resposta

d

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Faça o gráfico da função f ( x ) = s e n ( 1 x ) Qual o domínio e a imagem de f ? f é uma função periódica? Justifique sua resposta.
Esboce o gráfico.y = x sen (1)/(x)
Determine o domínio e esboce o gráfico.f (x) = cosec x
Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))
Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .39. cos ⁡ ( π + x )