Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

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Enunciado

calcule o que se pede

  1. c o s ( a r c c o s ( − 1 / 2 ) ) .
  2. c o s ( a r c c o s ( √ 3 / 2 ) ) .
  3. c o s ( a r c c o s ( 1 / 34 ) ) .
  4. c o s ( a r c c o s   x ) .
  5. a r c c o s ( c o s ( π / 6 ) ) .
  6. a r c c o s ( c o s ( − π / 2 ) ) .
  7. a r c c o s ( c o s ( 4 π / 3 ) )
  8. a r c c o s ( c o s ( 20 π / 17 ) )
  9. a r c c o s ( c o s   x ) .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é calcular os valores de cada expressão. Para isso, vale lembrar que

a r c c o s ( x ) = c o s - 1 ( x )

Isso é

c o s ( a r c c o s ( x ) ) = x

Contudo

a r c c o s ( c o s ( x ) ) = x   s e

x ∈   [ 0 ,   π   ]

pois como o arco cosseno retorna o valor de um arco do círculo. Existem pelo menos dois aros com o mesmo cosseno e o mesmo seno

Bem vamos começar pela letra a )

c o s ( a r c c o s ( − 1 / 2 ) ) .

Como comentamos anteriormente, temos que

c o s ( a r c c o s ( x ) ) = x

Logo,

c o s ( a r c c o s ( − 1 / 2 ) ) .  

= - 1 / 2

letra b )

c o s ( a r c c o s √ 3 / 2 ) ) .

Como comentamos anteriormente, temos que

c o s ( a r c c o s ( x ) ) = x

Logo,

c o s ( a r c c o s ( √ 3 / 2 ) ) .  

= √ 3 / 2

letra c )

c o s ( a r c c o s ( 1 / 34 ) ) .

Como comentamos anteriormente, temos que

c o s ( a r c c o s ( x ) ) = x

Logo,

c o s ( a r c c o s ( 1 / 34 ) ) .  

= 1 / 34

letra d )

c o s ( a r c c o s ( x ) ) .

Como comentamos anteriormente, temos que

c o s ( a r c c o s ( x ) ) = x

Isso se dá pois o arco cosseno é a função inversa do cosseno.

Passo 2

letra e )

a r c c o s ( c o s ( π / 6 ) ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a c o s ( π / 6 ) ? Ora é o arco de π / 6   ( 30 ° ) . Mas sabemos que o arco - π / 6 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( c o s ( π / 6 ) )

temos que

x = π / 6   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = - π / 6   +   2 k π ;   k ∈ Z

letra f )

a r c c o s ( c o s ( - π / 2 ) ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a c o s ( - π / 2 ) ? Ora é o arco de π / 2   ( 90 ° ) . Mas o arco - π / 2 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( c o s ( - π / 2 ) )

temos que

x = π / 2   +   k π ;   k ∈ Z

letra g )

a r c c o s ( c o s ( 4 π / 3 ) ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a c o s ( 4 π / 3 ) ? Ora é o arco de 4 π / 3   ( 240 ) . Mas o arco 2 π / 3 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( c o s ( 4 π / 3 ) )

temos que

x = 4 π / 3 +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = 2 π / 3   +   2 k π ;   k ∈ Z

letra h )

a r c c o s ( c o s ( 20 π / 17 ) )

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a c o s ( 20 π / 17 ) ? Ora é o arco de 20 π / 17   ( 240 ) . Mas o arco π - 3 π / 17 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( c o s ( 20 π / 17 ) )

temos que

x = 20 π / 17 +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = π - 3 π / 17   +   2 k π ;   k ∈ Z

E por fim temos que a letra i )

a r c c o s ( c o s   x ) .

Como vimos das questões anteriores, o arco cosseno vai nos dar duas possíveis respostas no intervalo de [ 0,2 π ) . Então, podemos simplificar o resultado acima da seguinte forma:

a r c c o s ( c o s   x ) = x   s e

x ∈ [ 0 , π ]

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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