Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

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Enunciado

18. Sejam A e θ números reais tais que

2 sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x = A cos ⁡ x - θ

Para todo x   ϵ   R . Sabendo que A > 0 , então A é igual a

  1. 13
  2. 5
  3. 2
  4. 3
  5. 6

Sugestão: Verifique o que acontece quando x = 0 e quando x = π / 2 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu a seguinte equação,

2 sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x = A cos ⁡ x - θ

E quer saber quanto vale a A .

Como temos vários senos e cossenos, vamos ter que usar algumas relações trigonométricas.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar olhando para o lado da equação onde há mais icognitas. Repara que dentro do cosseno temos uma subtração. Então vamos aplicar essa regrinha aqui:

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b

Aplicando, ficamos com,

A cos ⁡ x - θ = A ( cos ⁡ x cos ⁡ θ + sin ⁡ x sin ⁡ θ )

Então podemos escrever a nossa igualdade assim,

2 sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x = A ( cos ⁡ x cos ⁡ θ + sin ⁡ x sin ⁡ θ )

Repara que agora temos uma parte seno e cosseno de cada lado para comparar.

Passo 3

O problema sugere para verificarmos o que acontece quando x = 0 .

2 sin ⁡ 0 + 3 cos ⁡ 0 = A ( cos ⁡ 0 cos ⁡ θ + sin ⁡ 0 sin ⁡ θ )

2 0 + 3 1 = A   1 cos ⁡ θ + 0 sin ⁡ θ

3 = A cos ⁡ θ

Isolando A , ficamos com:

A = 3 cos ⁡ θ

Ele também pede para verificarmos quando x = π 2

2 sin ⁡ π 2 + 3 cos ⁡ π 2 = A ( cos ⁡ π 2 cos ⁡ θ + sin ⁡ π 2 sin ⁡ θ )

2 1 + 3 0 = A   0 cos ⁡ θ + 1 sin ⁡ θ

Temos então:

2 = A sin ⁡ θ

Passo 4

Pra juntar as duas informações que achamos no passo anterior, vamos substituir o valor de A da primeira equação na segunda equação:

2 = 3 cos ⁡ θ sin ⁡ θ

2 = 3 tan ⁡ θ

Logo,

tan ⁡ θ = 2 3

Agora precisamos achar esse ângulo!

E o ângulo que tem tangente igual a 2/3 é

θ = arctan ⁡ 2 3 = 0,58   r a d

Passo 5

Voltando para uma das equações para encontrar A .

2 = A sin ⁡ 0,58

A = 2 sin ⁡ 0,58

A = 2 0,54 = 2 100 54 = 3,7 ≅ 13

Prontinho!

Resposta

a

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Faça o gráfico da função f ( x ) = s e n ( 1 x ) Qual o domínio e a imagem de f ? f é uma função periódica? Justifique sua resposta.
Esboce o gráfico.y = x sen (1)/(x)
Determine o domínio e esboce o gráfico.f (x) = cosec x
Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))
Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .39. cos ⁡ ( π + x )