Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

Elaboração Própria

A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei

f x = s e n x + c o s x 2 - s e n x - c o s x 2

Qual o valor de a e b indicados no eixo x?

Passo 1

Acho que você concorda comigo que essa função não está nada amigável e receptiva, está bem complicado de chegarmos a alguma conclusão sobre ela.

Vamos tentar simplificar?

f x = s e n x + c o s x 2 - s e n x - c o s x 2

Fazendo esses produtos notáveis, temos

f x = s e n ² x + 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x - ( s e n ² x - 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x )

f x = s e n ² x + 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x - s e n 2 x + 2 . s e n x . c o s x - c o s ² x

f x = 2 . s e n x . c o s x + 2 . s e n x . c o s x

f x = 4 . s e n x . c o s x

Beeeem mais bonitinha, né? =D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos ver os pontos do primeiro quadrante que terão o y = 3 , como nos mostra o enunciado. Basta igualarmos a nossa função a 3 . Fica assim ó:

4 . s e n x . c o s x = 3

Dividindo os dois lados por 2, temos:

2 . s e n x . c o s x = 3 2

Tá, mas no que isso adianta a gente?

A expressão que está ao lado esquerdo é igual ao seno de um arco duplo, portanto, teremos:

s e n 2 x = 3 2

Agora, pensa comigo no seguinte, quais são os valores que tem como o seno o   3 2 ?

O seno de 60° e o de 120° graus, por estarem no 1º e 2º quadrantes, são positivos.

60 ° = π 3   e   120 ° = 2 π 3

Ou seja, teremos:

2 x =   π 3   o u   2 x = 2 π 3

Concluimos então que

x = π 6   o u   x = π 3

Resposta

a   = π 6     e   b   = π 3

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