Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

Qual é a constante da fase do oscilador harmônico cuja função aceleração a ( t ) aparece na Fig. 15-56 se a função posição x ( t ) é da forma x = x m cos ⁡ ( ω t + φ   ) e a s = 4,0   m / s 2 ?

Passo 1

Aqui a gente vai seguir o nosso esquema pra determinar a fase do oscilador. Porém, temos uma diferença: o nosso gráfico é da aceleração, já a função dada, do deslocamento.

Assim, precisamos lembrar que se:

x t = x m cos ⁡ ( ω t +   φ )

v t = - x m ω s e n ω t + φ

a t = - x m ω 2 cos ⁡ ω t + φ

Perceba que a gente apenas derivou ali em cima.

Passo 2

Agora vamos olhar no gráfico: o a s é a quarta divisão na escala vertical. Logo, como a s = 4,0 m / s 2 , cada divisão valerá 1,0 m / s 2 .

Pelo gráfico, a gente consegue perceber que o valor da aceleração quando t = 0 vale 1,0   m / s 2 .

Passo 3

Assim, podemos dizer que:

a 0 = 1,0

a 0 = - a s cos ⁡ ω 0 + φ

Repare que aqui o a s é a amplitude da aceleração, que vale:

a s = x m ω 2

Como o gráfico que temos é da aceleração, podemos usar o a s direto como a amplitude dele, porque já temos essa amplitude, sem precisar fazer x m ω 2 . Beleza? Então:

a 0 = - 4 cos ⁡ ω . 0 + φ = 1

cos ⁡ φ = - 1 4

Assim, considerando o intervalo de [ 0 ° , 360 ° ] :

φ = arccos ⁡ - 1 4 = 104,5 °

Também poderíamos ter: φ = 255,5 ° . E agora, como saber qual é o valor correto?

Passo 4

Bom, podemos pensar que a derivada da curva é dada por:

d a ( t ) d t = a s ω s e n ω t + φ

Em t = 0 , essa derivada é igual a inclinação da reta tangente na curva nesse ponto. Podemos observar que essa inclinação é positiva, logo:

a s s e n ω 0 + φ = a s ω s e n φ > 0

Como a s ω > 0 , temos que ter:

s e n φ > 0

Logo, só o ângulo de 104,5 ° satisfaz essa inequação.

Resposta

104,5 °

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