Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

Um movimento harmônico simples de um objeto é descrito pelo gráfico mostrado na figura abaixo. Qual é a equação da posição x ( t ) do objeto em função do tempo t ?

  1. x t = 4 m s e n 2 π 8 s t   - 2 π 3 r a d
  2. x t = 8 m c o s 2 π 8 s t + 2 π 3 r a d
  3. x t = 4 m c o s 2 π 8 s t + π 3 r a d
  4. x t = 4 m c o s 2 π 8 s t - π 3 r a d
  5. x t = 8 m c o s 2 π 8 s t   - π 3 r a d

Passo 1

A equação para o movimento harmônico simples é

x t = x m c o s ω t + ϕ  

Temos que x m é a amplitude do movimento, isso significa que a posição do objeto varia entre - x m e x m . Pelo gráfico vemos que o objeto oscila entre - 4 m e 4 m , assim

x m = 4 m

Passo 2

Pelo gráfico vemos também o período do movimento que é T = 8 s .

Como ω = 2 π / T , temos

ω = 2 π 8   r a d / s

Passo 3

Pra achar a fase dentro do seno, basta olhar para um ponto do gráfico. Vou escolher o ponto em t = 0 . Pelo gráfico vemos que

x 0 = 2

Assim

4 c o s 0 + ϕ = 2 → c o s ϕ = 1 2

As duas soluções possíveis para ϕ são

ϕ = π 3   o u - π 3

E agora? As duas parecem estar certas?!?!?!

Passo 4

Pra isso vamos olhar para a velocidade nesse ponto!

v t = d x d t = - x m ω sen ⁡ ω t + ϕ

Pelo gráfico vemos que a velocidade em t = 0 é positiva.

Como

sen ⁡ π 3 = 3 2  

e

sen ⁡ - π 3 = - 3 2  

A única maneira para que a velocidade em t = 0 seja positiva é se ϕ = - π / 3 . Assim

x = 4 s e n 2 π 8 t - π 3

Resposta

(D)

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