Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

Num museu, um quadro circular de um pintor modernista é pendurado por um ponto P da borda, como mostra a figura. Um visitante inadvertidamente esbarra no quadro, que passa a executar pequenas oscilações em torno do ponto P .

Sabendo que o raio do quadro é 50 c m e que seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular passando pelo centro de massa é I C M = M R 2 / 2 , onde M é sua massa, a frequência angular ω das pequenas oscilações do quadro é:

  1. ω = 6,3 r a d / s
  2. ω = 3,6 r a d / s
  3. ω = 1,0 r a d / s
  4. ω = 0,57 r a d / s
  5. Não é possível determinar ω sem saber a massa do quadro.

Passo 1

Bem, falou em rotação, falou em momento de inércia e torque!

Sabemos que o torque pode ser calculado por:

τ = I ∙ α

E que o momento de inércia vale:

I = I C M + M d 2

Por que esta fórmula toda? Por que estamos trabalhando com a rotação no ponto P , logo o momento de inércia tem que ser em relação ao ponto em que estamos estudando. Dá-lhe teorema dos eixos paralelos!

E bem, como d = R , temos:

τ = 3 M R 2 2 ∙ α

Passo 2

Mas o torque está no ponto P , só que só temos uma força atuando neste ponto: a força peso. Logo,

τ P = - P ∙ s e n θ ∙ R = - M g ∙ s e n θ ∙ R

Passo 3

Como α = θ ¨ , vamos ter:

τ = τ P

3 M R 2 2 ∙ θ ¨ = - M g ∙ s e n θ ∙ R

3 R θ ¨ 2 + g s e n θ = 0

Para θ muito pequeno, temos que s e n θ = θ , logo:

3 R θ ¨ 2 + g θ = 0

θ ¨ + 2 g 3 R θ = 0

Comparando com a equação do MHS, tiramos que

ω = 2 g 3 R = 3,6   r a d / s

Resposta

Letra b)

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