Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

Ver Teoria

Enunciado

Um tubo de secção transversal A é dobrado na forma de um U . Um fluído é inserido no tubo ocupando um comprimento l do tubo. O fluido é sugado de um lado do tubo e então é solto, resultando em um movimento oscilatório (considere que não tem atrito).

Mostre que o período de oscilação do movimento harmônico resultante é dado por:

T = 2 π l 2 g

Passo 1

Eaew, belezinha?

Nos foi indicado um tubo curvado para formar um U , assim como na figura

em um dos lados do tubo é feita uma sucção de forma que um lado sobe uma altura l e o outro desce uma altura l . Isso faz com que uma quantidade de massa esteja acima da linha de equilíbrio indicada pelo tracejado na figura do enunciado, enquanto, do outro lado, a mesma quantidade de massa foi retirada abaixo da linha tracejada, essa quantidade de massa é obtida através da definição de densidade

ρ = m / V

em que ρ é a densidade do líquido, m é a massa de água que foi levantada e V é o volume ocupado por essa massa d’água. Como temos que após a sucção a massa de água é liberada, o peso dessa massa de água faz com que a coluna desça enquanto sobre do outro lado do tubo, formando um movimento oscilatório (Já que eventualmente o outro lado irá começar a descer), sem atrito, esse movimento dura para sempre. Tendo em vista o problema descrito acima, vamos então demonstrar que o período de oscilação é

T = 2 π l 2 g

para isso, vamos procurar quem é o nosso análogo da constante elástica para esta situação física, analisando quem seria a nossa força restauradora! Saca só!

Passo 2

Temos aqui que a força restauradora é o próprio peso da massa d’água acima da linha de equilíbrio, ou seja, analogamente ao problema de massa mola, temos que

P = - m g = - k   x

em que x é a distância da posição de equilíbrio (linha tracejada na figura). A diferença de altura entre o lado mais baixo e o lado mais alto, em nosso caso dado por

Δ h = 2 x

como temos que a altura da coluna de água é dada pela expressão acima, temos que o volume ocupado é tal que

V = A Δ h = 2 A x

e, portanto, a massa é dada por

m = 2 ρ A x

De forma que podemos obter a seguinte relação para a força restauradora

- k x = - 2 A ρ g x

como inicialmente temos que x = l , podemos obter que a constante “elástica” é dada por

k = 2 A ρ g

Vamos agora comparar com o problema do MHS! Vem comigo!

Passo 3

Para o problema de massa-mola, temos que a frequência natural é dada por

ω 0 2 = k M

em que M é a massa total do sistema (em nosso caso a massa total do líquido). Sendo assim, neste caso, temos que

ω 0 2 = 2 A ρ g M

lembrando a definição de densidade e lembrando que o tubo tem um comprimento l , obtemos que

M = ρ V = ρ A l

de forma que

ω 0 = 2 A ρ g ρ A l = 2 g l

Ótimo! Agora lembrando que

ω 0 = 2 π T

temos finalmente que

T = 2 π ω 0 = 2 π l 2 g

Como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função aceleração a(t) aparece na Fig. 15-55 se a função posição x(t) é da forma x = x m c o s ω t + ϕ e a s = 4,0 m / s 2 ?
Recentemente tornou-se possível “pesar” moléculas de DNA medindo a influência de sua massa sobre um nano-oscilador. A figura mostra uma haste fina, retangular e nanométrica, escavada em silicone (dens
A figura ( a ) é um gráfico parcial da função posição x ( t ) de um oscilador harmônico simples com uma frequência angular de 1,20r a d / s ; a figura ( b ) é um gráfico parcial da função velocidade v
A FIGURA Q14.4 mostra um gráfico posição versus tempo para uma partícula em MHS. a. Qual é a constante de fase ϕ 0 ? Explique. b. Qual é a fase da partícula em cada um dos três pontos numerados no grá
A FIGURA Q14.5 mostra um gráfico velocidade versus tempo para uma partícula em MHS. a. Quanto vale a constante de fase ϕ 0 ? Explique. b. Qual é a fase da partícula em cada um dos três pontos, numerad