Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

Uma partícula de massa m = 0,20   k g oscila harmonicamente com equação x t = 5,0 cos ⁡ 4,0   t + π 2   m .

  1. Qual a frequência e o período desta oscilação?
  2. Faça os gráficos da posição e da velocidade entre os instantes t = 0 e t = π   s , indique corretamente no gráfico os valores da posição e da velocidade no gráfico correspondente para t = 0 ,     π 8 ,     π 2   e   7 π 8 . Indique também no eixo vertical os valores máximos e mínimos para x , y
  3. Faça os gráficos da energia cinética e da energia mecânica total entre os instantes t = 0 e t = π   s . Indique corretamente no gráfico os valores da energia cinética e da energia mecânica correspondente para t = 0 ,     π 8 ,     π 2   e   7 π 8 . Indique também no eixo vertical os valores máximos de K e E .

Passo 1

Fala povo, tudo ok? Olha só, vamos fingir que temos uma função oscilatória cosseno qualquer tal que:

x t = A ∙ c o s   B t + C

Se compararmos essa equação genérica com a física, vemos que:

A letra A representa a amplitude de oscilação. Agora pra entender B , mudamos ele e vemos que:

Logo o período de oscilação é:

T = 2 π B

E a frequência de oscilação será:

f = 1 T = B 2 π

E por fim, vemos também que:

A letra C vai representar nosso atraso ou adianto de fase (respectivamente)! Sendo assim, comparando matemática e física, temos:

x t = 5,0 cos ⁡ 4,0   t + π 2

x t = A ∙ c o s   B t + C

A = 5 B = 4 C = π 2

Logo, temos:

  • Amplitude de oscilação 5,0   m
  • Período de oscilação T = 2 π 4 = π 2
  • Frequência de oscilação f = 1 T = 2 π
  • Adianto de fase π 2
  • E isso já respondemos a letra a e pegamos bastante informação sobre esse movimento. Esboçar o gráfico vai ser mais tranquilo

    Passo 2

    As informações todas do passo anterior são o suficiente pro esboço. Com elas, conseguimos montar x t :

    Marcando a posição nos instantes pedidos, temos:

    Vemos então que a posição é 0 nos instantes t = 0 e t = π 2 e que a posição é máxima em t = 7 π 8 , alcançando o valor positivo da amplitude de oscilação 5 e a posição é mínima em em t = π 8 , alcançando o valor negativo da amplitude de oscilação.

    Passo 3

    Pro gráfico da velocidade, temos que lembrar que:

    V t = x ' t

    Portanto:

    V t = x ' t = d 5,0 cos ⁡ 4,0   t + π 2 d t

    V t = x ' t = - 5,0   sen ⁡ 4,0   t + π 2   ∙ d 4,0   t + π 2 d t

    V t = - 20   sen ⁡ 4,0   t + π 2

    Pra fazer esse gráfico galera, a ideia é quase a mesma. A amplitude mudou, mas veja que o adianto de fase, frequência e período não! Portanto, esboçando V t já marcando os pontos que o enunciado pede, temos:

    Vemos então que a velocidade é 0 nos instantes t = π 8 e t = 7 π 8 e que a mesma é mínima em todos os outros pontos, isto é, em t = 0 e t = π 2 , alcançando o valor negativo da amplitude de oscilação 20 . Nenhum dos valores de t do enunciado nos fornece a velocidade máxima, que seria o valor positivo da amplitude de oscilação.

    Passo 4

    Galera, bora falar então do gráfico da energia cinética. Vamos lembrar que:

    K = m v 2 2

    Como sabemos que a massa é 0,2   k g e que a velocidade varia com o tempo, temos:

    K t = 0,1   ∙ V t 2

    K t = 0,1   ∙ - 20   sen ⁡ 4,0   t + π 2 2

    K t = 40   ∙ sen 2 ⁡ 4,0   t + π 2

    Mas como:

    sen 2 ⁡ α = 1 - cos ⁡ 2 α 2

    Podemos reescrever pra facilitar nossa vida no esboço para:

    K t = 40   ∙ 1 - cos ⁡ 2 4,0   t + π 2 2

    K t = 20 - 20 cos ⁡ 8 , 0   t + π

    Ainda assim podemos manter a ideia de função oscilatória pra esboçar o gráfico. Nota o seguinte valera, o cosseno vai ter um valor máximo e um mínimo...

    - 1 ≤ cos ⁡ 8,0   t + π ≤ 1

    ... que vai acabar implicando num valor máximo e mínimo pra K t também:

    20 ≥ - 20 cos ⁡ 8,0   t + π ≥ - 20

    20 + 20 ≥ 20 - 20 cos ⁡ 8,0   t + π ≥ - 20 + 20

    40 ≥ K t ≥ 0

    Então já sabemos que K t é uma função oscilatória mas que oscila indo de 0 pra 40 indo e voltando. Dessa vez a frequência ficou duas vezes maior (e o período se tornou metade) e o adianto de fase aumentou em relação a V t . Usando essas informações, podemos esboçar:

    Vemos então que a energia cinética total é mínima (e nula) nos instantes t = π 8 e t = 7 π 8 e que a mesma é máxima em todos os outros pontos, isto é, em t = 0 e t = π 2 , alcançando o valor de 40 .

    Passo 5

    Agora a gente termina tudo! Falta só o gráfico da energia mecânica total. A energia mecânica total vai ser sempre:

    E M t = K t + U t

    Onde U t é a soma de todas as energias potenciais. Como a oscilação é harmônica é tranquilo de assumirmos que a energia mecânica se conserva! Ou seja, quando a cinética é mínima (e nula), a potencial é máxima. E vice-versa! Ou seja, como:

    40 ≥ K t ≥ 0

    O maior valor que ele pode assumir será a energia mecânica total em todos os instantes:

    Ufa, cabamos!

    Resposta

    Letra a:

  • Período de oscilação T = π 2
  • Frequência de oscilação f = 2 π

Letra b:

x t = 5,0 cos ⁡ 4,0   t + π 2

Vemos então que a posição é 0 nos instantes t = 0 e t = π 2 e que a posição é máxima em t = 7 π 8 , alcançando o valor positivo da amplitude de oscilação 5 e a posição é mínima em em t = π 8 , alcançando o valor negativo da amplitude de oscilação.

Vemos então que a velocidade é 0 nos instantes t = π 8 e t = 7 π 8 e que a mesma é mínima em todos os outros pontos, isto é, em t = 0 e t = π 2 , alcançando o valor negativo da amplitude de oscilação 20 . Nenhum dos valores de t do enunciado nos fornece a velocidade máxima, que seria o valor positivo da amplitude de oscilação.

Letra c:

K t = 20 - 20 cos ⁡ 8,0   t + π

Vemos então que a energia cinética total é mínima (e nula) nos instantes t = π 8 e t = 7 π 8 e que a mesma é máxima em todos os outros pontos, isto é, em t = 0 e t = π 2 , alcançando o valor de 40 .

Como a energia mecânica se conserva, quando a cinética é máxima, a potencial é mínima e nula (e vice-versa). A energia cinética alcança o valor máximo de 40 , portanto este é o valor da energia mecânica em todos os instantes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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