Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

O gráfico mostra a velocidade em função do tempo de uma partícula de massa m = 2   k g , ligada a uma mola, que move-se em movimento retilíneo sobre uma mesa horizontal sem atrito, realizando um MHS. A velocidade inicial da partícula é v 0 = 2,5   m / s . A expressão do deslocamento da partícula em função do tempo é:

a) x t = 1 4 π cos ⁡ 5 π t + π 6

b) x t = 1 8 π cos ⁡ 20 π t + 5 π 6

c) x t = 1 4 π cos ⁡ 20 π t + 7 π 6

d) x t = 1 8 π cos ⁡ 10 π t - 7 π 6

e) x t = 1 4 π cos ⁡ 20 π t - π 6

Passo 1

Prontos para mais um exercício de MHS? Partiu!!!

Nesse problema temos o gráfico da velocidade em função do tempo e queremos achar a função horária da posição. Para isso, lembre-se que

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Derivando com relação ao tempo obtemos a velocidade:

v t = d x d t = - ω A   s e n   ω t + ϕ

Do gráfico conseguimos tirar o período:

T = 0,1   s

Com isso conseguimos achar a frequência angular:

ω = 2 π T = 2 π 0,1 = 20 π   r a d / s

Passo 2

Note que ω A é a amplitude da velocidade, que também é a velocidade máxima v m a x do movimento:

ω A = v m a x ⇒ A = v m a x ω

Do gráfico tiramos que

v m a x = 5   m / s

Com isso,

A = 5 20 π = 1 4 π   m

Já temos que

x t = 1 4 π cos ⁡ 20 π t + ϕ

v t = - 5   s e n   ( 20 π t + ϕ )

Falta descobrir a fase ϕ .

Passo 3

Sabemos que v 0 = 2,5   m / s . Assim,

- 5   s e n   ϕ = 2,5 ⇒ s e n   ϕ = - 1 2

Nossas opções são

ϕ = 7 π 6               o u             ϕ = 11 π 6

Essas são os ângulos nos terceiro e quarto quadrantes, respectivamente. Como saber qual deles é o correto? Vamos olhar para a posição:

x 0 = 1 4 π cos ⁡ ϕ

Se x 0 > 0 , então ϕ = 11 π / 6 ; caso x 0 < 0 , temos ϕ = 7 π / 6 .

Note que em t = 0 a velocidade é positiva e está aumentando até que atinge seu máximo em t ≈ 0,025   s e daí passa a diminuir, seguindo positiva mas diminuindo até se anular próximo de t = 0,05   s (esse é um ponto de retorno). Como a velocidade era positiva nesse trecho, o corpo se movia no sentido positivo da trajetória. Antes de t ≈ 0,025   s , a partícula estava em x < 0 e a partir daí (após atingir o máximo de v ) passa a se mover com x > 0 até atingir o ponto de retorno onde a velocidade muda de sinal. Com isso, para t = 0 < 0,025   s , a posição é negativa. Logo, x 0 < 0 , de modo que ϕ = 7 π / 6 .

Portanto, a função horária da posição é

x t = 1 4 π cos ⁡ 20 π t + 7 π 6

Alternativa C 😊

Resposta

Alternativa C.

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