Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

Um corpo de massa 1,0   k g está em movimento harmônico sobre uma superfície horizontal sem atrito e preso a uma mola ideal. O gráfico mostra a posição x do corpo em função do tempo t . Qual é a energia cinética máxima do corpo?

(A) 0,20   J

(B) 0,13   J

(C) 0,40   J

(D) 0,26   J

(E) 0,79   J

Passo 1

Como queremos a energia cinética máxima, estamos interessados na velocidade máxima da partícula.

Temos como informação o gráfico da posição em função do tempo. Mas lembra que a velocidade é a derivada da posição?

v t = d x t d t

Então, vamos achar uma expressão para a posição x t e a partir daí, encontrar a velocidade v t e a velocidade máxima.

Passo 2

A posição de uma partícula que realiza um MHS pode ser escrita como:

x t = A . s e n ω t + ϕ

Agora, vamos achar os parâmetros A , ω e ϕ .

Passo 3

A amplitude A será:

A = 0,40   m

Então:

x t = 0,40 s e n ω t + ϕ

Passo 4

O ω será dado por:

ω = 2 π T

Onde T e o período do movimento...

O período do movimento será o tempo que o corpo leva para completar uma oscilação e voltar ao mesmo ponto de antes.

Para isso, pegamos a distância entre quaisquer pontos equivalentes (que estejam na mesma posição e com a velocidade no mesmo sentido):

T = 4   s

Assim, temos:

ω = 2 π 4

ω = π 2

Logo:

x t = 0,40 s e n π t 2 + ϕ

Passo 5

Para achar a diferença de fase ϕ , vamos substituir os valores do ponto inicial:

x 0 = - 0,20

0,40 s e n π 2 0 + ϕ = - 0,20

s e n ϕ = - 1 2

Ou seja, ϕ deve ser:

ϕ = - 30 ° = - π 6

Temos que tomar cuidado para não escolhermos o outro ângulo possível para ϕ que seria - 150 ° . Esse ângulo não está correto por mais que apresente o mesmo valor de seno que o ângulo - 30 ° .

Isso porque no gráfico, podemos ver que o “seno” está se aproximando de zero no trecho inicial (crescente), assim, - 30 ° é a única opção.

Assim, temos que a posição da partícula é:

x t = 0,40 s e n π t 2 - π 6

Passo 6

Agora, vamos derivar para encontrar uma expressão para a velocidade:

v t = x ' t

Lembrando da regra da cadeia para a parte de dentro da função “seno”...

v t = 0,40 cos ⁡ π t 2 - π 6 π 2

v t = 0,20 π cos ⁡ π t 2 - π 6

Passo 7

Já temos a expressão da velocidade.

Mas quem é a velocidade máxima da partícula?

Olha para a expressão, tá vendo que a função “cos” varia entre - 1 e 1 ?

Então, o maior valor de velocidade que a partícula atinge é quando a função “cos” vale 1 , portanto:

v m á x = 0,20 π

Agora, já podemos calcular a energia cinética máxima:

K m á x = m v m á x 2 2

K m á x = 1 0,20 π 2 2

K m á x = 0,197   J

Então, a energia cinética máxima é aproximadamente:

K m á x = 0,20   J

Ficamos com a alternativa (a).

Resposta

Letra (A)

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